19 Δεκ 2013

Από τους φυσικούς αριθμούς στο σώμα των πραγματικών αριθμών - Πλήρη σώματα





ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΣΤΟΛΟΓΙΟΥ
Κάνετε αριστερό κλικ εδώ





Σχετικές αναρτήσεις


1.  Οι άρρητοι αριθμοί: Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών 

2.  Οι άρρητοι αριθμοί: Ο ορισμός της ισότητας αριθμών στον Ευκλείδη  

3.  Οι άρρητοι αριθμοί: Τα είδη και οι ιδιότητες των αρρήτων αριθμών 


4. Οι άρρητοι αριθμοί: Το πλήθος των αρρήτων αριθμών -Πληθικοί αριθμοί απειροσυνόλων  

5. Από τους φυσικούς στους πραγματικούς αριθμούς - Πλήρη σώματα




Εισαγωγή


Επιχειρώ τη σκιαγράφηση μιας κατασκευής του σώματος ή πεδίου των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών ξεκινώντας από το σύνολο των φυσικών αριθμών . Η πορεία είναι από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, στο σύνολο Ζ των ακεραίων, από εκεί στο σώμα των ρητών Q και σε  επεκτάσεις του (σώμα ευκλείδειων αριθμών, σώμα αλγεβρικών αριθμών), και στη συνέχεια προς το σώμα των πραγματικών αριθμών R και προς το σώμα των μιγαδικών αριθμών C. Το δυσκολότερο βήμα είναι από το  Q στο R, δηλαδή η κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς αριθμούς.
Ο αναγνώστης ας έχει υπόψη του ότι ιστορικά η πορεία ήταν από το Ν στο Q(+) από το Q(+) στο  R(+)  και από εκεί στο R και στο C και ότι η πορεία από το Ν έως το R(+)  είχε γίνει από τους αρχαίους Έλληνες. Το δυσκολότερο και το σημαντικότερο βήμα στην ιστορική πορεία ήταν από το Q(+) στο R(+). Το σύνολα Q(+) , R(+) είναι τα σύνολα των θετικών ρητών και των θετικών πραγματικών αριθμών.

Περιεχόμενα


1.  Η έννοια του σώματος ή πεδίου αριθμών - Διατεταγμένα σώματα
2.  Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών
3.  Από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών στον Δακτύλιο - Ακεραία περιοχή  Ζ των ακεραίων αριθμών
4.  Από το δακτύλιο Ζ των ακεραίων, στο σώμα Q των ρητών αριθμών - Πρώτα σώματα
5   Ποια πρώτα σώματα υπάρχουν; - Η μοναδικότητα του σώματος Q των ρητών αριθμών
6.  Πεπερασμένες , άπειρες αλγεβρικές, και υπερβατικές επεκτάσεις του σώματος Q των ρητών αριθμών. - Αλγεβρικοί και Ευκλείδιοι αριθμοί
7.    Πλήρη αριθμητικά συστήματα:
7.1  Η έννοια της πληρότητας σώματος αριθμών
7.2  Οι πραγματικοί αριθμοί ως τομές ρητών αριθμών  (τομές Ντέντεκιντ)
7.3  Τομές Ντέντεκιντ, και ρητές προσεγγίσεις  πραγματικών αριθμών.
7.4  Πράξεις πραγματικών αριθμών - πρόσθεση
7.5  Πράξεις πραγματικών αριθμών - πολλαπλασιασμός
8.    Οι πραγματικοί αριθμοί
8.1  Το σώμα των πραγματικών αριθμών
8.2  Η πληρότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών
8.3  Δεύτερη πρόταση ως  αξίωμα της πληρότητας- Αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών
8.4  Η μοναδικότητα του σώματος R των πραγματικών αριθμών.  
9.    Οι πραγματικοί αριθμοί ως πλήρες και διατεταγμένο σώμα
9.1  Η ύπαρξη νιοστής ρίζας
9.2  Η σύγκλιση μονότονων και φραγμένων ακολουθιών
9.3  Το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων και το αντίστροφό του
9.4  Δεύτερος τρόπος πλήρωσης του συνόλου των ρητών αριθμών
9.5  Η αμφιμονότιμη αντιστοίχηση μεταξύ των πραγματικών αριθμών αφ' ενός και των σημείων μιας ευθείας αφ' ετέρου
9.6  Βασικές ακολουθίες (ακολουθίες Cauchy)
α) Η σύγκλιση βασικών ακολουθιών σε πλήρη σώματα 
β)   Ισοδυναμία της πρότασης για τα εγκιβωτισμένα διαστήματα και της πρότασης για τη σύγκλιση βασικών ακολουθιών 
γ)   Τρίτος τρόπος κατασκευής των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς αριθμούς
δ)   Σώματα πλήρη κατά Dedekind (πλήρη σώματα), και σώματα  πλήρη κατά Cauchy..
9.7 Συνεχείς συναρτήσεις πραγματικής  μεταβλητής
10. Επεκτάσεις του σώματος R των πραγματικών αριθμών.
11. Το σώμα C των μιγαδικών αριθμών.
12. 



1. Η έννοια του σώματος ή πεδίου αριθμών - Διατεταγμένα σώματα


Η έννοια του σώματος αναφέρεται σε σύνολα στα οποία έχουν ορισθεί δύο εσωτερικές διμελείς πράξεις και αφορά τις ιδιότητες αυτών των πράξεων.

Εσωτερική διμελής πράξη σε ένα σύνολο είναι η αντιστοίχηση ενός στοιχείου του συνόλου σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (α β) στοιχείων του.
Η πράξη γίνεται μεταξύ των στοιχείων α και β με αυτήν τη σειρά, πρώτο το α δεύτερο το β. Αν την πράξη τη συμβολίσουμε με αστεράκι (*) και καλέσουμε γ το στοιχείο του Α που θα είναι το αποτέλεσμα της πράξης μεταξύ των α και β (με αυτήν τη σειρά), θα έχουμε
α * β = γ
Για παράδειγμα αν η πράξη είναι η γνωστή μας αφαίρεση θα έχουμε
α – β = γ
Τα παραπάνω σημαίνουν και ότι οι άρρητοι αριθμοί  μόνοι, και οι υπερβατικοί αριθμοί μόνοι δεν μπορεί να είναι σώματα ως προς τις γνωστές μας πράξεις της πρόσθεσης και  του πολλαπλασιασμού αφού το άθροισμα και το γινόμενο υπερβατικών ή αρρήτων αριθμών μπορεί να μην είναι ούτε υπερβατικός ούτε άρρητος αριθμός.
Ας έρθουμε όμως στο τι είναι σώμα ή αλλιώς πεδίο αριθμών.

Σώμα ή πεδίο είναι ένα σύνολο έστω το Σ, στο οποίο έχουν ορισθεί δύο εσωτερικές διμελείς πράξεις εκ των οποίων η πρώτη είναι προσθετική (θα τη συμβολίζουμε με +, το γνωστό μας σύμβολο της πρόσθεσης χωρίς όμως αυτό σημαίνει ότι η πράξη ταυτίζεται απαραίτητα με την πρόσθεση που ξέρουμε) και η δεύτερη είναι πολλαπλασιαστική (θα τη συμβολίζουμε χωρίς σύμβολο, με απλή παράθεση των αριθμών μεταξύ των οποίων εκτελείται η πράξη ή με μια τελεία χωρίς αυτό να σημαίνει ότι ταυτίζεται απαραίτητα με τον γνωστό μας πολλαπλασιασμό), που έχουν τις εξής ιδιότητες που ισχύουν για οποιαδήποτε στοιχεία του Σ.

Α. Για την πρώτη πράξη

1. Είναι προσεταιριστική.
Δηλαδή ισχύει (α+β)+γ = α+(β+γ)
2. Είναι αντιμεταθετική.
Δηλαδή α+β = β+α
3. Έχει  ένα  ουδέτερο στοιχείο.
Το ουδέτερο στοιχείο της προσθετικής πράξης είναι μοναδικό (εύκολα αποδεικνύεται). Θα το συμβολίζουμε 0 και ισχύει
α+0 = α για κάθε α
4. Κάθε στοιχείου υπάρχει το συμμετρικό του ως προς το ουδέτερο στοιχείο της προσθετικής πράξης. Δηλαδή για κάθε στοιχείο του Σ έστω το α, υπάρχει ένα στοιχείο του Σ έστω το α΄ ούτως ώστε να ισχύει
α+α΄= 0

Τα στοιχεία α και α΄ ονομάζονται αντίθετα μεταξύ τους και γράφουμε το α΄ως –α. Ισχύει α΄= -α και α = -α΄. Ορίζεται ότι  α-β = α+β΄.
Αποδεικνύεται εύκολα και ότι ένα και μοναδικό είναι και το συμμετρικό ενός στοιχείου ως προς την πράξη.
Οι τέσσερις αυτές ιδιότητες της προσθετικής πράξης καθιστούν εξ ορισμού το σύνολο Σ (προσθετική) αντιμεταθετική ομάδα ως προς αυτήν την πράξη. Την αντιμεταθετική ομάδα τη λέμε και αβελιανή ομάδα.
Θα παρατηρήσω επίσης ότι από την ιδιότητα Α3  προκύπτει ότι κάθε σώμα περιλαμβάνει ρητά στοιχεία.

Β. Για τη δεύτερη πράξη:

1. Είναι επιμεριστική ως πρώτη πράξη
Δηλαδή ισχύει α.(β+γ) = α.β + α.γ
2. Είναι προσεταιριστική.
Δηλαδή ισχύει (α.β).γ = α.(β.γ)
3. Είναι αντιμεταθετική
Ισχύει α.β = β.α
4. Έχει ουδέτερο στοιχείο διαφορετικό από το 0. Το συμβολίζουμε 1 και ισχύει α.1 = α για κάθε α.
Το ουδέτερο στοιχείο της πολλαπλασιαστικής πράξης αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι μοναδικό. Αποδεικνύεται ακόμη ότι α.0 = 0 για κάθε στοιχείο α.  Η απόδειξη προκύπτει από τη μοναδικότητα του 0 και από τη σχέση
α.(1+0) = α   (αφού 1 + 0 = 1)  δηλαδή
α.1 + α.0 = α     ή      α+α.0 = α      για κάθε α.
5. Κάθε στοιχείου του Σ εκτός του ουδέτερου στοιχείου της προσθετικής πράξης υπάρχει το συμμετρικό του ως προς το ουδέτερο στοιχείο της πολλαπλασιαστικής πράξης. Δηλαδή για κάθε στοιχείο του Σ εκτός του 0, έστω το α (α διάφορο του 0), υπάρχει ένα στοιχείο του Σ έστω το α΄ ούτως ώστε να ισχύει α.α΄= 1.
Αποδεικνύεται ότι ένα και μοναδικό είναι το συμμετρικό ενός μη μηδενικού στοιχείου του Σ ως προς αυτήν την πράξη την πράξη.
Τα στοιχεία α και α΄ονομάζονται και αντίστροφα μεταξύ τους. Ορίζεται ότι
α΄=α-1    και ισχύει ότι  α = (α΄)-1
και γράφουμε α.β-1  ή α/β αντί α. β΄
Αποδεικνύεται ότι σε ένα σώμα δεν υπάρχουν δύο στοιχεία που δίνουν γινόμενο 0 χωρίς να είναι ούτε το ένα, ούτε το άλλο 0. Δηλαδή αν (α.β) = 0 και το β δεν είναι ίσο με 0 τότε α = 0. Λέμε ότι ένα σώμα δεν έχει διαιρέτες του 0.
Η απόδειξη είναι άμεση.
Αφού το β δεν είναι 0 υπάρχει το β-1 και η σχέση (α.β) = 0 μας δίνει
(α.β). β-1  = 0   ή   α.(β. β-1) = 0     ή α.1 = 0   και τελικά α = 0

Επίσης σε ένα σώμα ισχύει ο νόμος της διαγραφής αν α.β = α.γ και το α δεν είναι 0 τότε β = γ
Η απόδειξη βασίζεται σε αυτό που μόλις αποδείξαμε.

Οι ιδιότητες Β (2,3,4,5) καθιστούν το σύνολο
Σ0= Σ-{0} που απομένει αν από το Σ αφαιρεθεί το ουδέτερο στοιχείο της πρώτης πράξης, (πολλαπλασιαστική) αντιμεταθετική ομάδα ως προς την δεύτερη πράξη. 

Θα παρατηρήσω ότι και η ιδιότητα Β4 συνεπάγεται άμεσα ότι κάθε σώμα έχει ρητά στοιχεία.

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτές οι ιδιότητες δεν είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Σε μια αυστηρή αξιωματική θεμελίωση κάποιες θα περίσσευαν, τουλάχιστον στη μορφή που τις παραθέτω. Στην μορφή αυτή θα προέκυπταν ως θεωρήματα από ασθενέστερες συνολικά προτάσεις. Για παράδειγμα η πρόταση Α2 μπορεί να εξαχθεί ως θεώρημα από τις υπόλοιπες. Επίσης κρατώντας την Α2,  η Α3 και η Α4 θα μπορούσε να συναχθούν από δύο ασθενέστερες προτάσεις Α΄3  και Α΄4  που θα βεβαίωναν την ύπαρξη  ουδέτερου στοιχείου μόνο για την πρόσθεση εξ αριστερών και για την ύπαρξη προσθετικά αντιστρόφου και πάλι μόνο για την πρόσθεση εξ αριστερών. Είτε όμως αυτές οι προτάσεις θεωρηθούν ως αξιώματα του σώματος, είτε μερικές από αυτές ως θεωρήματα που προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων ασθενέστερο συνολικά από το σύνολο αυτών των προτάσεων, οι προτάσεις αυτές περιγράφουν ιδιότητες όλων των σωμάτων και οπωσδήποτε η επιβεβαίωση της ισχύος τους αρκεί για να δειχθεί ένα σύνολο ως σώμα.
Περαιτέρω πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι παραπάνω ιδιότητες καθορίζουν όλους τους κανόνες λογισμού μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου για τις ρητές πράξεις , την ισχύ των ταυτοτήτων που ξέρουμε, την ορθότητα των μεθόδων που χρησιμοποιούμε για να λύνουμε εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων. Μας εξασφαλίζουν και την ύπαρξη του σώματος των ρητών αριθμών. Δεν μας εξασφαλίζουν όμως, ούτε την ύπαρξη στο σώμα και αρρήτων αριθμών ούτε τη δυνατότητα μέτρησης της διαγωνίου τετραγώνου με μονάδα μέτρησης το μήκος της πλευράς του ούτε τη δυνατότητα μέτρησης του μήκους της περιφέρειας κύκλου με μονάδα μέτρησης το μήκος της ακτίνας του ούτε την ανάπτυξη των μεθόδων προχωρημένου λογισμού.

Μια έννοια που θα  χρειαστούμε είναι η έννοια του ισομορφισμού.  Ο ισομορφισμός αναφέρεται  σε αντιστοίχηση των στοιχείων δύο συνόλων και σε αντιστοίχηση των πράξεων που έχουν ορισθεί σε αυτά.
Δύο σύνολα είναι ισόμορφα όταν η   αντιστοίχηση των στοιχείων τους είναι ένα προς ένα και πλήρης και η αντιστοίχηση των πράξεων διατηρεί τις πράξεις. Ο ισομορφισμός είναι μια αντιστοίχιση ένα προς ένα και πλήρης  που διατηρεί τις πράξεις.
Οι πράξεις δεν είναι αναγκαστικά κάποιες από τις γνωστές πράξεις της αριθμητικής. Μπορεί να ορίζονται με ποιο πολύπλοκο τρόπο

Αυτά σημαίνουν ότι δύο σύνολα
Α ( με στοιχεία χ,ψ, ...  και μία πράξη εσωτερική πράξη  που για παράδειγμα ας τη συμολίσουμε  )  και
 Β (με στοιχεία Χ, Ψ, Ζ ........  και μία εσωτερική πράξη που ας τη συμολίσουμε  *) ,
με μια αντιστοίχιση  που καθορίζεται από μια συνάρτηση Φ(χ) που αντιστοιχεί στο  στοιχείο α του Α  το στοιχείο  β = Φ(α)  του Β,
είναι ισόμορφα ως προς αυτές τις πράξεις τότε  και μόνον τότε, όταν:
1. Όταν η απεικόνιση μέσω της Φ(χ) είναι αμφιμονότιμη και επί. Αυτό σημαίνει ότι μέσω της Φ(χ) κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχείται σε ένα αλλά μόνο ένα στοιχείο του Β και κάθε στοιχείο του Β είναι αντίστοιχο ενός αλλά μόνο ενός στοιχείου του Α. Το αντίστοιχο του στοιχείου α του Α  θα το συμβολίζω εδώ Φ(α).
2.Αν το στοιχείο χ του Α είναι αντίστοιχο με το στοιχείο Ζ του Β [Φ(χ) = Ζ] , και το στοιχείο ψ του Α είναι αντίστοιχο με το στοιχείο Τ του Β  [Φ(ψ) = Τ],  τότε το στοιχείο (χψ) του Α είναι αντίστοιχο με το στοιχείο (Ζ*Τ) του Β, δηλαδή
Φ(χψ) = (Ζ*Τ) = Φ(χ)*Φ(ψ) .

Ένα παράδειγμα με  κοινές πράξεις. Έστω
Α το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών με εσωτερική πράξη το γνωστό  πολλαπλασιασμό και
Β  το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών με εσωτερική πράξη τη γνωστή πρόσθεση
και απεικόνιση του Α επί του Β μέσω της συνάρτησης
Φ(χ) = λογχ.

Η αντιστοίχηση είναι  ένα προς ένα και επί.
Στο α  του Α αντιστοιχεί ο  λογα  που ως πραγματικός αριθμός είναι στοιχείο του Β
Στο β  του Α  αντιστοιχεί  ο  λογβ  του Β
Στο  (α.β) του Α αντιστοιχεί ο λογ(α.β) = λογα + λογβ
Το συμπέρασμα είναι  ότι τα  Α και Β καθίστανται  μεταξύ τους ισόμορφα  ως προς τις δύο αυτές πράξεις αν αντιστοιχηθούν μέσω της συνάρτησης λογχ.

Το παράδειγμα δεν φωτίζει , δεν δείχνει τη σημασία του ισομορφισμού. Όταν τα δύο σύνολα έχουν ίδια δομή ως προς τις πράξεις που καθορίζουν τον ισομορφισμό, η ομοιότητά τους γίνεται εμφανής. Αυτό βεβαίως συμβαίνει όταν η ισομορφία είναι μεταξύ δύο σωμάτων. Ακόμη ένα σύνολο που είναι σώμα δεν μπορεί να είναι ισόμορφο προς ένα σύνολο που δεν είναι σώμα.

Δύο σώματα είναι ισόμορφα αν είναι ισόμορφα και ως προς την προσθετική και ως προς την πολλαπλασιαστική πράξη και αν είναι διατεταγμένα τότε πρέπει να είναι ισόμορφα και ως προς τη σχέση της διάταξης. 

Δύο ισόμορφα σώματα μπορεί να ταυτισθούν.



 Διατεταγμένα σώματα

Τα σώματα διακρίνονται σε διατεταγμένα σώματα και σε μη διατεταγμένα.

Ένα σύνολο Σ είναι διατεταγμένο σώμα αν είναι σώμα και επί πλέον υπάρχει ένα γνήσιο υποσύνολό του έστω το Ρ με τις εξής ιδιότητες.

Ι) Για κάθε στοιχείο α του Σ ισχύει ακριβώς μία από τις επόμενες τρεις προτάσεις,
i. α = 0
ii. Το α ανήκει στο Ρ
iii. Το (–α) ανήκει στο Ρ

ΙΙ) Τα αποτελέσματα και της προσθετικής και της πολλαπλασιαστικής πράξης του σώματος μεταξύ στοιχείων του Ρ είναι πάντοτε στοιχεία του Ρ. Δηλαδή αν τα α, β ανήκουν στο Ρ τότε και το (α+β) και το (α.β) ανήκουν και αυτά στο Ρ

Τα στοιχεία του Ρ ονομάζονται θετικά και τα στοιχεία του Ρ΄ = [Σ-{0}] – Ρ ονομάζονται αρνητικά στοιχεία του σώματος.


Τα παραπάνω εξασφαλίζουν ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο του Σ ανήκει ή στο Ρ ή στο Ρ΄ και δεν ανήκει και στα δύο ή αλλιώς ότι το Ρ και το Ρ΄ δεν έχουν κοινά στοιχεία και ή ένωση τους περιέχει όλα τα στοιχεία του Σ εκτός από το 0. Μπορούμε να το δούμε αυτό στο σώμα των ρητών αλλά και στο σώμα των πραγματικών αριθμών. Στους πραγματικούς και στους ρητούς αριθμούς το Ρ είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών ή ρητών αριθμών. Το άθροισμα και το γινόμενο δύο πραγματικών ή ρητών θετικών αριθμών είναι θετικός αριθμός.
Το Ρ΄ είναι το σύνολο των αρνητικών (πραγματικών ή ρητών) αριθμών.

Σε κάθε διατεταγμένο σώμα το 1 ανήκει στα θετικά στοιχεία γιατί αν ανήκε το -1 θα ανήκε και το (-1).(-1) = 1 και αυτό αντίκειται στην ιδιότητα Ι των διατεταγμένων σωμάτων. Θετικό είναι επομένως και το άθροισμα (1+1). Εύκολο είναι να σκεφθούμε ότι θετικό είναι και το [(1+1) + 1] και πάει λέγοντας. Επίσης στα διατεταγμένα σώματα το α2 είναι ή 0 ή θετικό αφού
α2= (-α)2

[Σε σώματα που δεν δέχονται διάταξη σώματος το άθροισμα (1+1+ …. +1) για ν προσθετέους (ν > 1) μπορεί να είναι ίσο προς 0 (για συγκεκριμένες τιμές του ν).]

Επανερχόμαστε στα διατεταγμένα σώματα. Η ύπαρξη του υποσυνόλου Ρ του Σ με τις παραπάνω ιδιότητες, μας επιτρέπει να διατάξουμε όλα τα στοιχεία του Σ

Ορίζουμε ότι σε ένα διατεταγμένο σώμα Σ

α > β        
σημαίνει ότι το στοιχείο (α-β) είναι θετικό ή ισοδύναμα ότι το στοιχείο (β-α) είναι αρνητικό και διαβάζεται  α μεγαλύτερο του β.  

α <  β  
σημαίνει  ότι το στοιχείο (α-β) είναι αρνητικό ή ισοδύναμα ότι το στοιχείο (β-α) είναι θετικό και διαβάζεται  α μικρότερο του β.

Είσάγονται και τα σύμβολα    ,       ,       .

α β    
διαβάζεται α μεγαλύτερο ή ίσο του β που  ισοδυναμεί με το α  δεν είναι μικρότερο του β. Αληθεύει οταν ισχύει α > β   αλλά  και όταν ισχύει  α = β.
Το δεύτερο σύμβολο διαβάζεται με ανάλογο τρόπο.

α β

Σημαίνει ότι το α δεν είναι ίσο με το β και  διαβάζεται α  διάφορο του  β.

Αυτά μαζί με τα παραπάνω μας επιτρέπουν να συναγάγουμε όλες τις γνωστές ιδιότητες των ανισοτήτων και να προχωρήσουμε στην ανακάλυψη και κατασκευή σωμάτων που εκτός από διατεταγμένα είναι και πλήρη, χωρίς χάσματα, γεγονός που μας επιτρέπει τη μέτρηση κάθε μήκους και κάθε μεγέθους. Μας επιτρέπουν ακόμη να προσδιορίζουμε ρητές προσεγγίσεις των μη ρητών στοιχείων ενός σώματος και να εκτιμούμε το σφάλμα της προσέγγισης. Διατεταγμένα και μη διατεταγμένα σώματα  είναι απαραίτητα για να ολοκληρωθεί η ανάπτυξη των μεθόδων του προχωρημένου λογισμού. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι πλήρες και διατεταγμένο. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών περιλαμβάνει ως γνήσιο υποσύνολό του το σύνολο των πραγματικών αριθμών αλλά δεν δέχεται ως σώμα διάταξη που να διατάσει όλα του τα στοιχεία.
 Τελικά  θα δούμε  ποια από όλα τα γνωστά μας σύνολα αποτελούν σώματα και με ποιες πράξεις και ποια από τα σώματα αυτά είναι διατεταγμένα ή ακριβέστερα ποια από αυτά δέχονται διάταξη. Θα δούμε σύνολα με πεπερασμένο και σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων. Για την πλήρη διαπραγμάτευση του θέματος  θα χρειαστούμε όπως έχουμε ήδη αναφέρει και την έννοια του ισομορφισμού. Στο τι σημαίνει  ισομορφισμός έχουμε ήδη αναφερθεί .  Επαναλαμβάνουμε εδώ   τα όσα αφορούν ισόμορφα σώματα και θυμίζουμε ότι
Δύο σώματα είναι ισόμορφα αν είναι ισόμορφα και ως προς την προσθετική και ως προς την πολλαπλασιαστική πράξη και αν είναι διατεταγμένα τότε πρέπει να είναι ισόμορφα και ως προς τη σχέση της διάταξης.  Αναλυτικά:

Αν  α, β   είναι  στοιχεία του διατεταγμένου σώματος Α  και
φ(α),  φ(β)  είνα τα αντίστοιχά τους στοιχεία στο διατεταγμένο σώμα Β,
τότε η ισομορφία σημαίνει:
1.  Κάθε στοιχείο του Α έχει αντίστοιχο ένα και  μόνο  στοιχείο του Β και κάθε στοιχείο του Β είναι αντίστοιχο ενός και μόνο στοιχείου του Α.
2. φ(α+β) = φ(α) + φ(β)     και   φ(α.β) = φ(α).φ(β)
3. Εφ' όσον είναι α < β    θα είναι και  φ(α) < φ(β)

Ακόμη σε δύο ισόμορφα μεταξύ τους σώματα τα ουδέτερα στοιχεία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού του ενός είναι αντίστοιχα με τα ουδέτερα στοιχεία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού του άλλου. Και υπάρχουν και άλλες χαρακτηριστικές αντιστοιχίες. Κάθε ιδιότητα του ενός αντιστοιχεί σε μια ανάλογη ιδιότητα του άλλου. 

Δύο ισόμορφα σώματα μπορεί να ταυτισθούν. Το ένα αποτελεί άλλη μορφή ή εμφάνιση του άλλου.Οι λογικές αποδείξεις για τους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να προέλθουν μόνο από την ιδιότητα του ότι αποτελούν ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα. Κάθε πλήρες διατεταγμένο σώμα μπορεί από αλγεβρική άποψη να ταυτισθεί με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για το θέμα αυτό και για την έννοια πλήρες διατεταγμένο σώμα. θα επανέλθουμε.




 2. Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών

Το Ν περιλαμβάνει τον αριθμό 0. Επιπλέον,  κάθε φυσικού αριθμού υπάρχει ένας μοναδικός επόμενος του και μεγαλύτερος του φυσικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι οι οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι κατά το πλήθος και ότι δεν υπάρχει μέγιστος φυσικός αριθμός.
Από τα αξιώματα που τίθενται για τους φυσικούς αριθμούς και τους ορισμούς των πράξεων προκύπτουν επίσης και οι βασικές  ιδιότητες τους.
Ενός συνόλου με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων και ενός συνόλου άπειρου αλλά ισοπληθικού με το σύνολο των φυσικών αριθμών, τα στοιχεία τους μπορεί να αριθμηθούν με τους φυσικούς αριθμούς στους οποίους μπορεί να αντιστοιχηθούν σε μία αντιστοίχηση 1 προς 1 που καλύπτει αρχικό τμήμα του συνόλου των φυσικών αριθμών στην περίπτωση του πεπερασμένου συνόλου ή όλους τους φυσικούς αριθμούς στην περίπτωση συνόλου άπειρου αλλά ισοπληθικού με το σύνολο των φυσικών αριθμών (αριθμήσιμου συνόλου).
Με την εισαγωγή της πράξης της πρόσθεσης , ο φυσικός αριθμός ο επόμενος του ν ορίζεται ως ο (ν +1) και είναι (ν+1) > ν.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να διαταχθεί με τη σχέση  ≤  (μικρότερο ή ίσο) και αυτό είναι σημαντικό. Για δύο φυσικούς αριθμούς α, β ισχύει ακριβώς μία από τις τρεις σχέσεις
α=β ,  α >  β ,   α  < β .
Αξίζει να σημειωθεί ότι ορίζεται ότι α < β σημαίνει ότι υπάρχει φυσικός αριθμός που όταν προστεθεί στον α θα μας δώσει τον β. Αυτό προϋποθέτει φυσικά έναν ορισμό της πρόσθεσης που θα τον δούμε αργότερα.
Τώρα αν χ είναι  ο φυσικός αριθμός που όταν προστεθεί στον α θα μας δώσει τον β, έχουμε
α+χ =β
Αν ο β είναι κάποιος από τους επόμενους του α (όχι κατ’ ανάγκην ο αμέσως επόμενος), τότε υπάρχει ένας, μάλιστα ακριβώς ένας φυσικός χ που ικανοποιεί αυτήν τη σχέση και αυτός ο χ ορίζεται ως (β-α). Αυτή η πράξη εύρεσης του χ ονομάζεται αφαίρεση (εδώ του α από τον β), και το  σημείο (-) είναι το σημείο αυτής της πράξης


Σε όποια αξιωματική θεμελίωση των φυσικών αριθμών εκτός του ότι
α) περιλαμβάνεται στους φυσικούς αριθμούς ο 0 (μηδέν) και
β) κάθε φυσικού αριθμού υπάρχει ένας μοναδικός επόμενος  φυσικός αριθμός
τίθενται τρεις ακόμη προτάσεις.
i) Ο επόμενος ενός οποιουδήποτε φυσικού αριθμού δεν είναι 0 .
ii) Αν μ, ν είναι φυσικοί αριθμοί και ο επόμενος του μ και ο επόμενος του ν είναι ίσοι τότε μ=ν
iii) Αν ένα σύνολο Χ υποσύνολο του Ν (Ν είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών ), περιλαμβάνει τον 0 και τον επόμενο κάθε αριθμού που ανήκει στο Χ, τότε Χ=Ν
Η τελευταία πρόταση καλείται αξίωμα της επαγωγής και δίνει αποδεικτική μέθοδο για προτάσεις που εξαρτώνται από έναν φυσικό αριθμό ν. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται μέθοδος της τελείας επαγωγής.
Το αξίωμα της επαγωγής είναι ισοδύναμο με την πρόταση
iiia) Κάθε υποσύνολο του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών περιλαμβάνει ένα ελάχιστο στοιχείο ή αλλιώς ένα πρώτο στοιχείο.
Πρόκειται για την αρχή της καλής διάταξης των φυσικών αριθμών που ονομάζεται και αρχή του ελαχίστου φυσικού.
Πέραν αυτών με τον ορισμό της πρόσθεσης και της έννοιας  α  < β  προκύπτει ότι κάθε φυσικός αριθμός είναι μικρότερος του επομένου του ΄πως έχουμε αναφέρει, και ότι αν
α  <   β    και  β  < γ    τότε   α  < γ
Επίσης από τους ορισμούς της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και από τα πέντε αξιώματα που παραθέσαμε παραπάνω και αποδίδονται στον Peano, προκύπτουν όλες οι γνωστές ιδιότητες των πράξεων,  των ισοτήτων και των ανισοτήτων, όσον αφορά το χειρισμό φυσικών αριθμών.

Υπάρχει μόνο ένα σύνολο φυσικών αριθμών.
Το ότι δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα σύνολα φυσικών αριθμών εξασφαλίζεται με το αξίωμα της επαγωγής. (Ακριβέστερα εξασφαλίζεται ότι τα σύνολα των φυσικών αριθμών είναι ανά δύο ισόμορφα). Πράγματι μπορεί να ορισθεί αντίστοιχος του 0 ο αριθμός 0΄ , και αντίστοιχος του επομένου του ν ο επόμενος του αντιστοίχου του ν. Έτσι και ο αντίστοιχος του 1 θα είναι ο 1΄.
Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αυτή η αντιστοίχηση είναι ένα προς ένα, καλύπτει όλα τα στοιχεία των δύο συστημάτων φυσικών αριθμών και διατηρεί τις πράξεις όπως θα οριστούν στη συνέχεια.)
Η ύπαρξη όμως ενός τουλάχιστον συνόλου φυσικών αριθμών δεν εξασφαλίζεται με τα πέντε αξιώματα. 
Θα ήταν δυνατό να τεθεί σαν έκτο αξίωμα η ύπαρξη ενός τουλάχιστον συνόλου φυσικών αριθμών που ικανοποιεί αυτά τα αξιώματα.
 Στα σημερινά μαθηματικά προτιμούν όμως να μην εισάγονται σε επιμέρους κλάδους προτάσεις υπάρξεως, (οντολογικές προτάσεις λέγονται), αλλά να εισάγονται τέτοιες προτάσεις μόνο στη συνολοθεωρία, και οι οντολογικές προτάσεις οι απαιτούμενες για την ανάπτυξη των επιμέρους κλάδων να προκύπτουν ως θεωρήματα που θα αποδεικνύονται με τη βοήθεια εννοιών και προτάσεων της θεωρίας συνόλων. Προσωπικά βρίσκω ότι αυτή η επιλογή μπορεί να θέτει την ανάπτυξη των μαθηματικών σε ενιαία βάση, κάνει όμως τα πράγματα πιο πολύπλοκα από ότι είναι.
Εμείς εδώ απλά θα θεωρήσουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν. Άλλωστε προέκυψαν από την ανάγκη απλών μετρήσεων που χωρίς αυτούς δεν μπορεί να γίνουν, τους χρησιμοποιούμε και εύκολα διαπιστώνουμε ότι ικανοποιούν τα πέντε αξιώματα.

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών ορίζουμε δύο εσωτερικές διμελείς πράξειςˑ τη γνωστή μας πρόσθεση και το γνωστό μας πολλαπλασιασμό. Ο τρόπος ορισμού όμως ενδιαφέρει. Οι πράξεις ορίζονται με τη βοήθεια αναδρομικών σχέσεων.
Η πρόσθεση ορίζεται από τις σχέσεις
α+0 = α
α+β΄ = (α+β)΄
που ορίζεται ότι ισχύουν για όλους τους φυσικούς αριθμούς α, β. Ο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και αν χ είναι φυσικός αριθμός τότε χ΄συμβολίζουμε τον επόμενο του χ. Στις σχέσεις ορισμού της πρόσθεσης εμφανίζονται ο [επόμενος του β] = β΄ και ο [επόμενος του (α+β)] = (α+β)΄.

Ο επόμενος κάθε φυσικού αριθμού είναι απολύτως καθορισμένος και θεωρείται γνωστός. Παρά αυτά η ονοματοδοσία των φυσικών αριθμών και η ανάπτυξη μεθόδων γραφής τους ή αλλιώς συστημάτων αρίθμησης, έπαιξαν πολύ σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των μαθηματικών.

Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται με ανάλογο τρόπο από δύο επίσης σχέσεις εκ των οποίων η δεύτερη είναι αναδρομική.
α.0 = 0
α.β΄= α.β + α
που ορίζεται να ισχύουν για οποιουσδήποτε φυσικούς α, β.

Αν 1 = 0΄ τότε 1+0 = 1 εξ ορισμού. Προκύπτει για κάθε φυσικό α ότι
0+1=1,
0+α=α
α.1= α
1.α =α
ότι δηλαδή ο 0 και ο 1 = 0΄ αποτελούν τα εξ αριστερών και εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό αντιστοίχως.

Για την πρώτη σχέση έχουμε 0+1 = 0+0΄= (0+0)΄= 0΄=1
Έχουμε δείξει τη δεύτερη σχέση για α = 1 και ισχύει προφανώς για α=0. Υποθέτουμε ότι ισχύει για κάποιον α και θα αποδείξουμε ότι ισχύει για τον επόμενό του.
Έχουμε 0+α΄ = (0+α)΄= α΄. Επομένως το σύνολο των φυσικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση περιλαμβάνει τον 0 και μαζί με κάθε φυσικό περιλαμβάνει και τον επόμενό του άρα ταυτίζεται με το Ν (έγινε απόδειξη με επαγωγή).
Η τρίτη σχέση προκύπτει άμεσα αφού α.1=α.0΄= α.0+α = 0+α =α
Η τέταρτη αποδεικνύεται με επαγωγή όπως η δεύτερη.

Θα φανεί περίεργο αλλά η ιδιότητα των πράξεων που είναι δυσκολότερο να αποδειχθεί είναι η αντιμεταθετική και για τη πρόσθεση και για τον πολλαπλασιασμό. Ότι δηλαδή α+β = β+α και α.β = β.α

Για την πρόσθεση δείχνεται πρώτα με επαγωγή ως προς τον β ότι
α΄+ β = α+β΄= (α+β)΄              (1)
και στη συνέχεια με επαγωγή ως προς α ότι α+β = β+α.
Για το πρώτο βήμα έχουμε.
α΄+0 = α΄ = (α+0)΄= α+0΄ και η πρόταση ισχύει για β=0
Έστω ότι ισχύει α΄+β = α+β΄ = (α+β)΄. Θα δείξουμε ότι α΄+β΄= α +(β΄)΄ = (α+β΄)΄.
Έχουμε:
α΄+ β΄= (α΄+β)΄= (α+β΄)΄= α+(β΄)΄.
Κάνουμε το δεύτερο βήμα. Θα δείξουμε  με επαγωγή ως προς α ότι  α+β = β+α.
Η σχέση ισχύει για α=0 αφού 0+β = β = β+0 και δεχόμενοι ότι ισχύει για κάποια τιμή του α ότι α+β = β+α. Θα δείξουμε ότι α΄+β = β+α΄.
Αφού ισχύει η (1) έχω
α΄+ β = (α+β)΄= (β+α)΄= β+α΄

Και για τον πολλαπλασιασμό έχουμε ότι
α.β΄= α.β +α
Θα δειχθεί πρώτα με επαγωγή ως προς β ότι ισχύει επίσης ότι
α΄.β = α.β+ β
και στη συνέχεια με επαγωγή ως προς α ότι α.β = β.α.

Η προσεταιτιστικότητα των δύο πράξεων και η επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση αποδεικνύονται πιο άμεσα. Υπάρχουν επίσης τα ουδέτερα στοιχεία ( ο 0 για την πρόσθεση και ο 1= 0΄ για τον πολλαπλασιασμό) Οι πράξεις μπορεί να γίνονται όπως ξέρουμε. Οι ταυτότητες ισχύουν, μπορούμε να αθροίζουμε προόδους, μπορούμε να αναπτύξουμε τη συνδυαστική. Μπορεί να αποδειχθούν και να χρησιμοποιηθούν και οι ιδιότητες των ανισοτήτων. Αναφέρω.

Αν  α < β     και  β < γ   τότε  α < γ
Όταν προσθέσουμε στα δύο μέλη μιας ανισότητας έναν φυσικό αριθμό θα προκύψει ομοιόστροφη ισοδύναμη  ανισότητα
Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν φυσικό αριθμό  λ≠ 0, θα προκύψει ομοιόστροφη ισοδύναμη ανισότητα
Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη με τις αρχικές.

Είναι όμως φανερό ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών με τις δύο εσωτερικές διμελείς πράξεις, τη γνωστή μας πρόσθεση και τον γνωστό μας πολλαπλασιασμό, δεν αποτελεί σώμα. Αυτό γιατί δεν ικανοποιούνται για τους φυσικούς αριθμούς οι ιδιότητες Α4 και Β5 του σώματος. Πράγματι,
για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό α εκτός του 0 , δεν υπάρχει ένας επίσης φυσικός αριθμός β που κάνει το άθροισμα (α+β) ίσο με 0 και
για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό α εκτός του 1, δεν υπάρχει ένας επίσης φυσικός αριθμός β που κάνει το γινόμενο (α.β) ίσο με 1
Έτσι στο σύνολο των φυσικών αριθμών οι εξισώσεις
α+χ =β και
β.χ =γ ( β διάφορος του 0)
δεν έχουν πάντοτε λύση.

Ισχύουν όμως όλες οι άλλες οι ιδιότητες του σώματος. Επιπλέον το σύνολο των φυσικών δεν έχει διαιρέτες του μηδενός και ισχύει και στο σύνολο των φυσικών αριθμών ο νόμος της διαγραφής και για τον πολλαπλασιασμό, φυσικά υπό τον όρο ότι ο διαγραφόμενος κοινός παράγοντας των δύο μελών μιας ισότητας δεν είναι ίσος με 0.
Ισχύει επίσης ότι
αν α, β είναι φυσικοί αριθμοί και ο β 0, υπάρχει πάντοτε για κάθε τέτοιο ζεύγος (α, β) ένα μοναδικό ζεύγος φυσικών αριθμών π και υ ώστε να ισχύει α = β.π +υ και υ < β (ταυτότητα της διαίρεσης).
Αυτό δίνει τη δυνατότητα ανάπτυξης θεωρίας διαιρετότητας με μέγιστο κοινό διαιρέτη με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, με πρώτους αριθμούς, με τέλειους αριθμούς, με μονότροπες αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι όμως σημαντικό για όλα αυτά αλλά και γιατί αποτελεί τη βάση κατασκευής και απόδειξης των ιδιοτήτων του συνόλου των ακεραίων και του συνόλου των ρητών αριθμών και οι ρητοί αριθμοί αποτελούν τη βάση κατασκευής και απόδειξης των ιδιοτήτων του συνόλου των πραγματικών αριθμών που περιλαμβάνει τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς μαζί και αποτελεί το θεμέλιο της μαθηματικής ανάλυσης .


3. Από τους φυσικούς αριθμούς στον δακτύλιο-ακεραία περιοχή Ζ των ακεραίων αριθμών

Το σύνολο Ζ των ακεραίων μπορεί να θεωρηθεί επέκταση του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών και επομένως το Ν είναι γνήσιο υποσύνολο του Ζ. Έχει φυσικά άπειρα στοιχεία που μπορεί να αριθμηθούν. Τα στοιχεία του (οι ακέραιοι αριθμοί δηλαδή) μπορεί αρχικά να ορισθούν με τη βοήθεια των διατεταγμένων ζευγών φυσικών αριθμών.
Αν
Χ, Ψ, Ζ είναι ζεύγη φυσικών αριθμών
α,β, γ, δ, ε, ζ είναι φυσικοί αριθμοί,
Χ = (α, β)
Ψ = (γ, δ) και
Ζ = (ε,ζ)

ορίζεται ότι

Χ = Ψ τότε και μόνον, όταν (α+δ) = (β+γ)
Χ+Ψ = (α+γ, β+δ)
Χ.Ψ = (α.γ+β.δ, α.δ+β.γ)
Η πρώτη σχέση θα μπορούσε να γραφεί α-β = γ-δ αν οι σημειούμενες πράξεις μπορούσε να εκτελεσθούν. Πάντως τελικά αυτή είναι η ουσία. Το ζεύγος φυσικών αριθμών (α,β)  θα καθορίζει τον ακέραιο α-β. Με κάποιους άλλους χειρισμούς θα μπορούσαμε να πούμε ότι καθορίζουμε κάθε ακέραιο ως διαφορά δύο φυσικών αριθμών και  μάλιστα όχι μονότροπα.  Επανερχόμαστε στα διατεταγμένα ζεύγη.
Από την πρώτη σχέση προκύπτει ότι αν
Χ = Ψ    και    Ψ = Ζ               τότε και     Χ = Ζ
Με βάση αυτό το συμπέρασμα διαμερίζουμε το σύνολο των ζευγών Ν x Ν σε υποσύνολα ξένα μεταξύ τους κάθε ένα από τα οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη που είναι ίσα με ένα συγκεκριμένο ζεύγος σύμφωνα με την πρώτη σχέση. Σύμφωνα με την πρώτη σχέση το ζεύγος (3,3) είναι ίσο με το ζεύγος (0,0) και ίσο με κάθε ζεύγος της μορφής (α,α). Υπάρχουν άπειρα ζεύγη αυτής της μορφής. Όλα αυτά αποτελούν μια κλάση ισοδυναμίας. Το ζεύγος (1,0) δεν είναι ίσο με κάποιο από τα ζεύγη της μορφής (α, α) ανήκει σε μια άλλη κλάση ισοδυναμίας. Μπορούμε να βρούμε ότι αυτή αποτελείται από όλα τα ζεύγη της μορφής (α+1, α). Και μπορούμε να βρούμε ότι τα ζεύγη της μορφής (α, α+1) συνιστούν μια άλλη κλάση ισοδυναμίας στην οποία περιλαμβάνεται και το ζεύγος (0,1). Και υπάρχουν άπειρες κλάσεις ισοδυναμίας αφού τα ζεύγη (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),……,(Ν,0),…… είναι άπειρα και διαφορετικά μεταξύ τους κατά την πρώτη σχέση και ανήκουν επομένως σε διαφορετικές ανά δύο κλάσεις ισοδυναμίας. Και κάθε ένα από αυτά είναι διαφορετικό από το (0,Ν), δηλαδή δεν είναι ίσο με το (0,Ν) για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό Ν, με Ν μεγαλύτερο του 0. Όλες οι κλάσεις ισοδυναμίας μαζί καλύπτουν όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών. Δύο κλάσεις ισοδυναμίας δεν έχουν κάποιο κοινό ζεύγος αφού σε αυτήν την περίπτωση όλα τα ζεύγη των δύο κλάσεων θα ήταν ίσα με το ζεύγος αυτό και επομένως ίσα μεταξύ τους, και άρα θα αποτελούσαν μία κλάση ισοδυναμίας.
Ορίζουμε ως ακέραιους αριθμούς αυτές τις κλάσεις ισοδυναμίας Κάθε κλάση ισοδυναμίας είναι ένας ακέραιος αριθμός. Υπάρχουν άπειρες κλάσεις ισοδυναμίας ξένες μεταξύ τους και επομένως υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί. Πράξεις μεταξύ ακεραίων είναι πράξεις μεταξύ των παραπάνω κλάσεων ισοδυναμίας. Οι πράξεις μεταξύ των κλάσεων ισοδυναμίας νοούνται ως πράξεις μεταξύ ζευγών φυσικών αριθμών πού ανήκουν σε αυτές, και οι πράξεις μεταξύ ζευγών φυσικών αριθμών έχουν ήδη ορισθεί. Κάθε κλάση ισοδυναμίας μπορεί να εκπροσωπηθεί από ένα οποιοδήποτε ζεύγος φυσικών αριθμών ανήκει σε αυτήν. Από ποιο ακριβώς ζεύγος φυσικών αριθμών θα εκπροσωπηθεί κάθε κλάση ισοδυναμίας δεν έχει σημασία, αρκεί το ζεύγος που την εκπροσωπεί να ανήκει σε αυτήν. Ας τα διευκρινίσουμε αυτά λίγο περισσότερο.

-Κάθε ακέραιος είναι μια κλάση ισοδυναμίας και εκπροσωπείται από ένα οποιοδήποτε ζεύγος φυσικών αριθμών ανήκει σε αυτήν.
Έστω ότι ο ακέραιος χ εκπροσωπείται από το ζεύγος (α,β), και ο ακέραιος ψ εκπροσωπείται από το (γ,δ). Αν χ = ψ τότε α+δ = β+γ. Το ότι τα δύο ζεύγη είναι ίσα θα πρέπει να σημαίνει ότι αν το ένα αντικαταστήσει το άλλο σε οποιαδήποτε πράξη το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι ίσο με το αρχικό, ίσο σύμφωνα με τον ορισμό της ισότητας. Είναι κάτι που πρέπει να ισχύει για να έχουν νόημα οι ορισμοί των πράξεων και τα όσα λέμε. Ο έλεγχος στηρίζεται στη σχέση α+δ = β+γ, είναι εύκολος και δίνει θετικό αποτέλεσμα. Οι πράξεις είναι καλώς ορισμένες.

-Η εξ ορισμού ισότητα των ακεραίων χ, ψ που εκπροσωπούνται από το ζεύγη (α,β) και (γ,δ) όταν και μόνο όταν, α+δ = β+γ με α,β,γ,δ φυσικούς αριθμούς, σημαίνει ότι ο ακέραιος χ είναι ίσος με τον ψ αν

Ι) είναι α – β > 0 και α-β = γ-δ ή αν
ΙΙ) είναι β-α >0 και β-α = δ-γ ή αν
ΙΙΙ) είναι α-β = γ-δ =0

Στην πρώτη περίπτωση οι ακέραιοι που εκπροσωπούνται από τα (α,β) και (γ,δ) μπορεί να εκπροσωπηθούν από το (α-β,0), στη δεύτερη περίπτωση από το (0, β-α) και στην τρίτη περίπτωση είναι από τον (0,0). Θυμίζω ότι πρόκειται για ζεύγη φυσικών αριθμών.
Έτσι εμείς θα κάνουμε πράξεις με ακεραίους που έχουν το πρώτο ή το δεύτερο στοιχείο του ζεύγους τους ίσο με 0. Αντί να κάνουμε πράξη με το (39, 37) θα κάνουμε πράξεις με τον (2,0) και θα αντικαθιστούμε το (18, 35) με τον (0, 17) και αντί να κάνουμε πράξεις με το (113, 113) θα κάνουμε πράξεις με το (0, 0).

- Στο εξής θα ταυτίζουμε τους ακέραιους με οποιοδήποτε ζεύγος τους εκπροσωπεί. Με αυτήν τη σύμβαση μπορούμε να πούμε ότι κάθε ακέραιος (α,β) είναι ίσος
με ακέραιο της μορφής (λ, 0) αν α > β ,
με ακέραιο της μορφής (0, λ) αν α < β
είναι ίσος με τον ακέραιο αριθμό (0, 0) αν α=β.
Ο λ είναι θετικός φυσικός αριθμός.

- Βάσει του ορισμού των πράξεων είναι:

(α,0) + (β,0) = (α+β, 0)
(0,α) + (0,β) = (0, α+β)
(α,0) + (0,β) = (α, β)
(α,0).(β,0) = (α.β, 0)
(0,α).(0,β) = (α.β, 0)
(α,0).(0,β) = (0, α.β)


- Οι ακέραιοι οι ίσοι με τον (0, 0) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και οι ακέραιοι οι ίσοι με τον (1,0) αποτελούν το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.

- Είναι (α,0) + (0,α) = (α, α) = (0,0). Επομένως κάθε ακεραίου υπάρχει το συμμετρικό ως προς το προσθετικά ουδέτερο στοιχείο.

- Οι εξισώσεις (α,β) + (χ, ψ) = (γ, δ) έχουν πάντοτε λύση αφού (γ, δ) = (γ+ν, δ+ν) όπου ν φυσικός που μπορεί να ληφθεί μεγαλύτερος και του α και του β και ο ακέραιος (χ,ψ) είναι επομένως ίσος με τον (γ+ν-α, δ+ν-β).   Δηλαδή (χ,ψ) = (γ,δ) - (α,β) = (γ-α+ν,  δ-β+ν)


- Το άθροισμα (α,0) + (β,0) = (α+β, 0) και το γινόμενο (α,0).(β,0) = (α.β, 0) Συνεπώς το σύνολο Ρ των ακεραίων της μορφής (α,0), έχει στοιχεία που και το άθροισμά τους και το γινόμενό τους έχει την ίδια μορφή και επομένως ανήκει στο Ρ.

- Μπορούμε να αντιστοιχήσουμε κάθε φυσικό αριθμό α με τον ακέραιο (α,0), την πρόσθεση των φυσικών με την πρόσθεση των ακεραίων της μορφής (α,0), και τον πολλαπλασιασμό των φυσικών με τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων της μορφής (α, 0). Η αντιστοίχηση είναι αμφιμονότιμη και επί και διατηρεί τις πράξεις αφού ο α+β έχει αντίστοιχο τον (α+β,0) = (α,0) +(β,0) και ο α.β έχει αντίστοιχο τον (α.β, 0) = (α,0).(β,0).
Λέμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ισόμορφο με το σύνολο των ακεραίων της μορφής (α, 0) όπου θυμίζουμε ότι ο α είναι φυσικός αριθμός. Είναι επομένως ισόμορφο με ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων και με αυτήν την έννοια οι ακέραιοι αποτελούν επέκταση του συνόλου των φυσικών.

-Ταυτίζουμε τους ακέραιους τους ίσους με τον (α,0) με τον φυσικό αριθμό α και διατάσσουμε τους ακέραιους αριθμούς της μορφής (α,0) με τη διάταξη των φυσικών αριθμών. Έτσι θα είναι (α,0) > (β,0) όταν και μόνον όταν είναι α > β.
Ορίζουμε στη συνέχεια το σύνολό των ακεραίων της μορφής (α,0) ως το σύνολο των θετικών ακεραίων και γράφουμε α αντί για (α,0).
Οι ακέραιοι οι ίσοι προς έναν ακέραιο της μορφής (0,β) θα συμβολίζονται –β ,θα ταυτίζονται με αυτόν τον ακέραιο και θα είναι οι αρνητικοί ακέραιοι.

- Είναι (α,β) = (α,0) + (0,β) = α+(-β)

- Για δύο αρνητικούς ακέραιους, τους (0,α) και (0,β), θα είναι εξ ορισμού (0,α) > (0,β) ή -α> -β όταν και μόνον όταν είναι α<β (α, β είναι φυσικοί).

-Για δύο ακέραιους χ, ψ οι σχέσεις χ >ψ και -χ < -ψ είναι επίσης ισοδύναμες και αυτό είναι θεώρημα που αποδεικνύεται με την παράσταση των χ, ψ ως ζευγών φυσικών αριθμών.

-Οι ακέραιοι της μορφής (α,α) θα ταυτίζονται με τον ακέραιο (0,0) που θα είναι ο μηδενικός ακέραιος. Θα τον συμβολίζουμε 0.
Για α θετικό φυσικό αριθμό είναι πάντοτε   (0,α) <(0,0) <(α,0)
ή αλλιώς       –α < 0 < α
Οι θετικοί ακέραιοι είναι μεγαλύτεροι από το 0 και οι αρνητικοί είναι μικρότεροι από το 0. Θυμίζω ότι ο ο α είναι θετικός φυσικός αριθμός ή ισοδύναμα είναι θετικός ακέραιος.

- Αν α φυσικός τότε
(0,α) = -α  [αφού (0,α) = - (α,0) = -α]
α  = -(-α) [ αφού  α = (α,0) = -(0,α) = -(-α)]

- Αν χ ακέραιος τότε
χ =-(-χ)
είτε ο χ είναι θετικός ακέραιος, είτε είναι αρνητικός ακέραιος. Θα το διαπιστώσετε εξετάζοντας τις περιπτώσεις χ=(β,0) , χ= (0,β) και χ= (0,0)

- Αν ο ακέραιος χ δεν ισούται με τον ακέραιο 0 = (0,0) τότε θα είναι για κάποιον θετικό φυσικό α, ή
χ= (α,0) και -χ = (0,α) και ο χ είναι θετικός, ή
χ = (0,α) και -χ = (α,0) και ο –χ είναι θετικός .
Για κάθε ακέραιο χ ισχύει επομένως ακριβώς μία από τις προτάσεις
Ο χ είναι ίσος με 0
Ο χ είναι θετικός ακέραιος
Ο –χ είναι θετικός ακέραιος

- Για τους οποιουσδήποτε ακέραιους κ, λ ορίζουμε λ-κ = λ + (-κ). Ο ακέραιος αριθμός χ = λ-κ είναι η λύση της εξίσωσης χ+κ = λ και υπάρχει πάντοτε.

- Για δύο ακεραίους κ, λ μπορούμε να ορίσουμε ότι είναι κ< λ όταν ο ακέραιος λ-κ είναι θετικός, ότι είναι κ > λ όταν ο ακέραιος λ-κ είναι αρνητικός και ότι λ=κ όταν λ-κ =0. Αυτό είναι ισοδύναμο με όσα έχουμε πει ως τώρα για τη διάταξη ακεραίων. Είναι σημαντικό ότι είτε με τους προηγούμενους ορισμούς είτε με αυτόν εδώ, αποδεικνύονται για τους ακέραιους όλες οι γνωστές ιδιότητες των ανισοτήτων.  Η ισχύς τους ανάγεται στην ισχύ των βασικών ιδιοτήτων των ανισοτήτων για φυσικούς αριθμούς. Αναφέρω .

Όταν προσθέσουμε στα δύο μέλη μιας ανισότητας έναν ακέραιο θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν θετικό ακέραιο θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν αρνητικό ακέραιο θα προκύψει ετερόστροφη ανισότητα
Όταν προστίθενται κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη με τις αρχικές
Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες κα το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι θετικά, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές.
Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι αρνητικά, προκύπτει ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές.
Όταν πολλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και δεν μπορεί να βεβαιωθεί ούτε ότι ισχύει η πρώτη, ούτε ότι ισχύει η δεύτερη από τις προηγούμενες περιπτώσεις, τότε μπορεί να προκύψει, είτε ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές είτε ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές, είτε ισότητα.

-Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι για χ,ψ ακέραιους ισχύει
(-χ).ψ = -(χ.ψ)
(-χ).(-ψ) = χ.ψ και ειδικότερα
(-χ)2 = χ2
επαληθεύοντας τις ισότητες όταν χ, ψ είναι θετικοί ακέραιοι[χ=(α,0) και ψ=(β,0)], όταν ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός και όταν είναι και ο χ και ο ψ είναι και οι δύο αρνητικοί [χ= (0,α) και ψ = (0,β)]. Στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους χ, ψ είναι 0 οι ισότητες προφανώς αληθεύουν.

- Στους ακέραιους εισάγεται και η έννοια της απόλυτης τιμής. Η απόλυτη τιμή του ακέραιου χ ισούται με τον χ αν ο χ είναι θετικός ακέραιος ή 0, και με (-χ) όταν ο ακέραιος χ είναι αρνητικός. Θυμίζω ότι οι θετικοί ακέραιοι και ο ακέραιος 0 μπορεί να θεωρηθούν φυσικοί αριθμοί.

- Το άθροισμα ενός θετικού ακεραίου α και ενός αρνητικού ακεραίου β είναι
θετικός,  αν  α > της απόλυτης τιμής του β
αρνητικός, αν   α < της απόλυτης τιμής του β
0, αν α = απόλυτη τιμή του β

-Η ταυτότητα της διαίρεσης προσαρμόζεται για τους ακεραίους ως εξής:
Αν α, β είναι ακέραιοι αριθμοί και ο β δεν είναι 0, υπάρχει πάντοτε για κάθε ζεύγος ακεραίων αριθμών α, β ένα μοναδικό ζεύγος ακεραίων π, υ με τον υ θετικό ακέραιο ή 0 ώστε να ισχύει
α = β.π +υ και υ < της απόλυτης τιμής του β
(ταυτότητα της διαίρεσης για τους ακέραιους).

- Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι ακέραιοι ικανοποιούν όλες τις ιδιότητες των σωμάτων για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού εκτός την ιδιότητα Β5 ( Δεν υπάρχει πολλαπλασιαστικά αντίστροφος ακεραίου διάφορου του 0 παρά μόνο του 1 και του -1) .
Η ισχύς των ιδιοτήτων ανάγεται στην ισχύ των ιδιοτήτων για τις ίδιες πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών και αποδεικνύεται εύκολα αν οι ακέραιοι παρασταθούν ως ζεύγη φυσικών αριθμών.
Για παράδειγμα η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
Αν χ, ψ είναι ακέραιοι και χ = (α,β)  ψ = (γ,δ) όπου α,β,γ,δ είναι φυσικοί τότε
χ + ψ = (α+γ, β+δ)  και χ.ψ = (αγ+βδ, αδ+βγ) και αντίστοιχα
ψ + χ = (γ+α, δ+β)  και ψ.χ = (γα+δβ, γβ+δα)
Προφανώς είναι χ+ψ = ψ+χ      και       χ.ψ  = ψ.χ     αφού για τους φυσικούς α, β, γ, δ, ισχύει
α+γ = γ+α       β+δ = δ+β      α.γ = γ.α         β.δ = δ.β
Το ίδιο ισχύει και για τη μεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού (προφανώς είναι χψ = ψχ), αλλά και για τις άλλες ιδιότητες.
Επομένως οι ιδιότητες αυτές ισχύουν για ακέραιους αριθμούς και κατά συνέπειαν ισχύουν για τους ακέραιους αριθμούς όλοι οι κανόνες που τηρούμε στον αλγεβρικό λογισμό και φυσικά όλες οι ταυτότητες. Όμως επαναλαμβάνουμε, δεν ικανοποιείται η ιδιότητα Β5 των σωμάτων, δηλαδή με την εξαίρεση του -1 και του 1, οι μη μηδενικοί ακέραιοι δεν έχουν αντίστροφο και για αυτόν το λόγο οι ακέραιοι δεν αποτελούν σώμα. Έχουν όμως ενδιαφέρουσα δομή.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στο σύνολο των ακεραίων ικανοποιούν τις ιδιότητες
- Α1, Α2, Α3, Α4
(άρα είναι οι ακέραιοι αντιμεταθετική ομάδα ως προς την πρόσθεση)
- Β1 (επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση) και
- Β2 (προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού)
Οι 6 παραπάνω ιδιότητες χαρακτηρίζουν ένα σύνολο ως δακτύλιο Οι ακέραιοι αποτελούν δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό.

Πέραν αυτών
- Ο πολλαπλασιασμός ακεραίων είναι μεταθετικός και έχει ουδέτερο στοιχείο . Δακτύλιος με αντιμεταθετικό τον πολλαπλασιασμό και ουδέτερο πολλαπλασιαστικό στοιχείο λέγεται
μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο
- Θυμίζουμε ότι οι ακέραιοι δεν έχουν διαιρέτες του μηδενός.
Ένας μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο χωρίς διαιρέτες του μηδενός αποτελεί ακέραια περιοχή. Αποτελούν επομένως οι ακέραιοι, ακέραια περιοχή.
Στις ακέραιες περιοχές ισχύει ο νόμος της διαγραφής και για τον πολλαπλασιασμό, φυσικά υπό τον όρο ότι ο διαγραφόμενος κοινός παράγοντας των δύο μελών μιας ισότητας δεν είναι ίσος με 0.

Ενδιαφέρον είναι ακόμη ότι
μια ακέραια περιοχή με άπειρο πλήθος στοιχείων μπορεί να επεκταθεί σε σώμα, και
μια ακέραια περιοχή με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων είναι σώμα.

Είπαμε  ότι οι ακέραιοι αποτελούν ακέραια περιοχή με άπειρα στοιχεία που μπορεί να επεκταθεί σε σώμα. Από την ακέραια περιοχή των ακεραίων κατασκευάζεται το σώμα των ρητών αριθμών



4. Από τον δακτύλιο Ζ των ακεραίων στο σώμα Q των ρητών αριθμών. - Πρώτα σώματα

Ξεκινώντας από τον δακτύλιο και ακέραια περιοχή των ακεραίων αριθμών Ζ θα κατασκευάσουμε με βάση τον Ζ ένα σύνολο Q στο οποίο θα επεκταθούν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ακεραίων ώστε να καταστούν εσωτερικές του πράξεις και το οποίο αφ’ ενός θα είναι σώμα ως προς αυτές τις πράξεις, αφ' ετέρου θα περιλαμβάνει ένα γνήσιο υποσύνολό του που θα είναι ισόμορφο προς το Ζ.

Θεωρούμε ως νέους αριθμούς τα ζεύγη ακεραίων αριθμών (χ,ψ) με ψ διάφορο του 0, και ορίζουμε ότι

(α,β) = (γ,δ) όταν και μόνον όταν α.δ = β.γ  (1)

όπου α, β, γ, δ είναι ακέραιοι και οι β, δ δεν είναι 0.
Προκύπτει αμέσως ότι αν και ε, ζ είναι ακέραιοι και  ο ζ δεν είναι 0 και
(α,β) = (γ,δ)    και   (γ,δ) = (ε,ζ)  τότε θα ισχύει  και
(α,β) = (ε,ζ)
Αυτό μας επιτρέπει να πούμε ότι ζεύγη ίσα μεταξύ τους την συνθήκη (1), παριστάνουν τον ίδιο αριθμό.

Στο σύνολο των νέων αριθμών ορίζουμε εσωτερικές διμελείς πράξεις.

(α,β) + (γ,δ) = (αδ+βγ, βδ)
(α, β).(γ, δ) = (αγ, βδ)

Το + ανάμεσα στα ζεύγη σημαίνει πρόσθεση των νέων αριθμών ενώ το + στα στοιχεία ενός ζεύγους σημαίνει πρόσθεση ακεραίων. Τα ίδια ισχύουν και για το σημείο του πολλαπλασιασμού.
Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι στις πράξεις αυτές αν οποιοδήποτε από τα δύο ζεύγη αντικατασταθεί από ζεύγος που παριστάνει τον ίδιο αριθμό σύμφωνα με τον ορισμό ισότητας, θα προκύψει αποτέλεσμα ίσο με το αρχικό. Οι πράξεις είναι καλά ορισμένες. Τα ζεύγη θα τα λέμε κλάσματα και τον αριθμό που παριστάνουν όλα τα κλάσματα τα ίσα προς δοθέν θα τον λέμε ρητό αριθμό. Ουσιαστικά πρόκειται για το ακριβές πηλίκο άλλιώς το λόγο δύο ακεραίων αριθμών. Τους λόγους αυτούς τους συμβολίσαμε με συγκεκριμένο τρόπο και αρχίσαμε να κάνουμε πράξεις με αυτούς.
Αμέσως μπορεί να παρατηρηθεί ότι ισχύει και για την πρόσθεση και για τον πολλαπλασιασμό ή αντιμεταθετική ιδιότητα αφού ισχύει στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Εύκολα διαπιστώνεται και η προσεταιριστικότητα των δύο πράξεων και η επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.
Για να το δείξουμε αρκεί να πάρουμε τρεις "νέους" αριθμούς Α = (α,β), Γ = (γ,δ),  Χ = (χ,ψ) και να κάνουμε τις πράξεις με βάση τους ορισμούς. Θα διαπιστωθεί εύκολα ότι

Α+Γ = Γ+Α , ΑΓ = ΓΑ
(Α+Γ)+Χ = Α+(Γ+Χ) (ΑΓ)Χ = Α(ΓΧ)
(Α+Γ)Χ = ΑΧ+ΓΧ

Η ισχύς αυτών των ιδιοτήτων των πράξεων  για τους ρητούς αριθμούς ανάγεται στην ισχύ τους  για τους ακέραιους αριθμούς και τελικά στην ισχύ τους για τους φυσικούς αριθμούς 

Εύκολα επίσης διαπιστώνουμε ότι (0,1) = (0,2) = (0,3) = ….  = (0,-1) = (0,-2) = .....και ότι
(α,β) + (0,β) = (α,β) και επομένως ο αριθμός (0.1) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. Τον (0, 1) και τους ίσους του θα τους συμβολίζουμε 0.
Επίσης αν β διάφορο του 0, (α,β) + (-α,β) = (0,β) = 0 και επομένως ο κάθε αριθμός (α,β) έχει αντίθετο.
Αν τώρα πάμε στον πολλαπλασιασμό διαπιστώνουμε πρώτα ότι
(1,1) = (α,α) για κάθε ακέραιο α διάφορο του 0, και ότι αν β διάφορο του 0
(α,β).(1,1) = (α,β) και επομένως ο (1,1) είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Τον (1,1) και τους ίσους του τους συμβολίζουμε 1.
Επίσης αν α, β διάφοροι του 0 τότε (α,β).(β,α) = (αβ, βα) = 1 και επομένως ο τυχών μη μηδενικός αριθμός (α, β) έχει αντίστροφο.
Έστω ένα κλάσμα (α, β) με τους ακέραιους α, β σχετικώς πρώτους. Λέμε το κλάσμα (α,β) ανάγωγο. Είναι εύκολο να δούμε ότι όλα τα κλάσματα  τα ίσα προς το ανάγωγο κλάσμα (α, β) είναι της μορφής (λα, λβ) όπυ ο λ είναι ακέραιος διάφορος του 0. Όλοι τα κλάσματα τα ίσα με το ανάγωγο (α,β) μπορεί να αντικατασταθούν στις πράξεις από το(α,β). Το ανάγωγο (α,β) είναι ίσο με το επίσης ανάγωγο (-α, -β). Το ένα έχει θετικό δεύτερο στοιχείο και το άλλο αρνητικό. Και το αποτέλεσμα (χ,ψ) μιας πράξης μπορεί να αναχθεί σε ανάγωγο κλάσμα (χ΄,ψ΄) ίσο προς τον (χ,ψ).
Αν θεωρήσουμε τώρα το σύνολο των αναγώγων κλασμάτων (χ,ψ) με ψ θετικό, μπορούμε να δούμε ότι έχει όλες τις παραπάνω ιδιότητες.

Με τα παραπάνω δείξαμε ότι το σύνολο των  ανάγωγων κλασμάτων  (χ,ψ) με ψ θετικό, είναι σώμα ως προς τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης (με την προσθήκη της απλοποίησης του αποτελέσματος ώστε το τελικό αποτέλεσμα να μετατραπεί σε ανάγωγο κλάσμα με θετικό παρονομαστή, έτσι ώστε να είναι η πράξη του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης εσωτερικές πράξεις αυτού του συνόλου).

Κάνουμε τη σύμβαση να γράφουμε α/β αντί (α,β).

Είναι εύκολο να αντιληφθούμε τα ανάγωγα κλάσματα α/β με β θετικό ακέραιο μπορούν να εκπροσωπούν  το σύνολο Q των ρητών αριθμών. Συχνά όμως τις πράξεις μεταξύ ρητών τις κάνουμε και με μη ανάγωγα κλάσματα, ίσα φυσικά με τα ανάγωγα που εκπροσωπούν τους ρητούς. Αν όμως θέλουμε να καταγράψουμε ή να αριθμήσουμε τους ρητούς μπορούμε να καταγράψουμε ή να αριθμήσουμε τα ανάγωγα κλάσματα.
Έχουμε όμως και άλλο τρόπο γραφής των ρητών αριθμών. Αν β ακέραιος ο 1/β είναι ο αντίστροφος του β και τον γράφουμε β-1 και τον ρητό α/β τον γράφουμε α.β-1
Υπάρχει και τρίτος τρόπος γραφής. Γράφουμε το δεκαδικό ανάπτυγμα του α/β . Μπορούμε ισοδύναμα να γράψουμε για παράδειγμα και το τριαδικό ή το οκταδικό ή οποιοδήποτε άλλο ανάπτυγμα αλλά χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά το δεκαδικό και σε κάποιες περιπτώσεις το δυαδικό ανάπτυγμα.

Ας απαντήσουμε τώρα σε μερικά ερωτήματα.

1, Περιλαμβάνει το Q ένα γνήσιο υποσύνολό του ισόμορφο με το σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών;

Οι ρητοί αριθμοί της μορφής α/1 αποτελούν ένα γνήσιο υποσύνολο του Q. Αντιστοιχούμε σε κάθε ακέραιο α τον ρητό αριθμό α/1. Η αντιστοίχηση είναι προφανώς 1προς 1. Επιπλέον διατηρεί τις πράξεις αφού ο αντίστοιχος του α+β είναι ο (α+β)/1 = (α/1) + (β/1) και ο αντίστοιχος του (α.β) είναι ο (α.β/1) = (α/1).(β/1).  Άρα το σύνολο των ρητών της μορφής α/1 είναι ισόμορφο με το σύνολο των ακεραίων . Αποτελεί λοιπόν το σύνολο των ρητών επέκταση του συνόλου των ακεραίων. Τους ρητούς ακέραιους της μορφής α/1 τους γράφουμε απλά α.

2. Μπορεί να διαταχθεί ως σώμα το σύνολο Q των ρητών αριθμών;

Αν ορισθεί ως σύνολο Ρ των θετικών στοιχείων του Q το σύνολο των αριθμών ίσων με αριθμούς της μορφής α/β με α, β θετικούς ακέραιους σχετικώς πρώτους , τότε:
1.Από τους μη μηδενικούς ρητούς χ/ψ και -χ/ψ με ψ θετικό ακριβώς ο ένας ανήκει στο Ρ
2.Το άθροισμα και το γινόμενο δύο στοιχείων του Ρ ανήκει στο Ρ.
3. Επιπλέον (χ/-ψ) = (-χ/ψ) και (-χ/-ψ) = (χ/ψ) .
Άρα ορίζοντας το Ρ ως το σύνολο των θετικών ρητών αριθμών, οι ρητοί διατάσσονται .

Θυμίζω ότι χ/ψ > α/β σημαίνει το άθροισμα (χ/ψ) + (-α/β) είναι θετικό. Άμεσο συμπέρασμα είναι ότι τα θετικά στοιχεία είναι μεγαλύτερα από το 0 και από τα αρνητικά στοιχεία και το 0 είναι μεγαλύτερο από τα αρνητικά στοιχεία.
Σε κάθε σώμα που μπορεί να διαταχθεί το 1 ανήκει στα θετικά στοιχεία. Θετικός είναι επομένως και ο 2 = 1+1 και ο 3 = 2+1 και όλοι οι θετικοί ακέραιοι.
Αν ο Ν είναι θετικός ακέραιος είναι και θετικός ρητός, και ο ρητός -1/Ν δεν μπορεί να ανήκει στους θετικούς ρητούς γιατί τότε θα ανήκε στους θετικούς και ο Ν.(-1/Ν) = -1 και αυτό δεν ισχύει. Θετικός επομένως θα είναι ο 1/Ν αλλά και ο μ.(1/Ν) = μ/Ν όταν και ο μ είναι θετικός ακέραιος. Φυσικά τότε ο ρητός –μ/Ν θα είναι αρνητικός.

Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι για χ, ψ ρητούς ισχύει

-(-χ) = χ
(-χ).ψ = -(χ.ψ)
(-χ).(-ψ) = χ.ψ και ειδικότερα
(-χ)2 = χ2

αντικαθιστώντας τους χ, ψ με ζεύγη ακεραίων.


Σε ότι αφορά τις βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων έχουμε

1. Μεταξύ δύο ρητών αριθμών χ και ψ ισχύει ακριβώς μία από τις σχέσεις
               χ = ψ,         χ < ψ ,            χ  > ψ   
2. Αν     χ < ψ  και    ψ < ζ     τότε ισχύει και     χ < ζ

3.  Ισχύουν τα εξής:
- Αν οι ακέραιοι α, β όπου β διάφορος του 0 είναι θετικοί, τότε ο ρητός (α/β) είναι θετικός
αν ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός τότε ο ρητός α/β είναι αρνητικός
αν και ο α και ο β είναι αρνητικοί τότε ο ρητός α/β είναι θετικός
αν ο α είναι 0 τότε ο ρητός α/β είναι 0
- Αν οι ακέραιοι α, β, γ, δ είναι θετικοί τότε ισχύει (α/β)  > (γ/δ) αν και μόνο αν είναι
α.δ  > β.γ
Αυτό αναγάγει τις ανισότητες μεταξύ ρητών σε ισοδύναμες ανισότητες μεταξύ ακεραίων.
- Όταν προσθέσουμε στα δύο μέλη μιας ανισότητας έναν ρητό θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
- Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν θετικό ρητό θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
- Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν αρνητικό ρητό θα προκύψει ετερόστροφη ανισότητα
- Όταν προστίθενται κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη με τις αρχικές
- Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι θετικά, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές.
- Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι αρνητικά, προκύπτει ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές.
- Όταν πολλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και δεν μπορεί να βεβαιωθεί ούτε ότι ισχύει η πρώτη, ούτε ότι ισχύει η δεύτερη από τις προηγούμενες περιπτώσεις, τότε μπορεί να προκύψει, είτε ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές είτε ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές, είτε ισότητα.

Εισάγεται ακόμη και για τους ρητούς η έννοια της απόλυτης τιμής με τον ίδιο τρόπο που εισάγεται για τους ακέραιους. Η απόλυτη τιμή του ρητού χ ισούται με τον χ αν ο χ είναι θετικός ή 0, και με (-χ) όταν ο ρητός χ είναι αρνητικός.

Θα αναφέρουμε τέλος δύο ιδιότητες.
Η πρώτη είναι η αρχιμήδεια ιδιότητα των ρητών αριθμών.
Αν ρ και Μ είναι οποιοιδήποτε θετικοί ρητοί αριθμοί τότε υπάρχει ακέραιος θετικός αριθμός Ν ούτως ώστε να ισχύει ν.ρ > Μ για κάθε ακέραιο ν μεγαλύτερο του Ν. Η ιδιότητα αυτή είναι απόρροια του ότι από κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει μεγαλύτερος του, και η απόδειξή της στο ότι δεν υπάρχει μέγιστος φυσικός στηρίζεται.
Πράγματι αν θέσουμε ρ= α/β και Μ = γ/δ, η σχέση ν.ρ >Μ ισοδυναμεί με την
ν.α.δ > β.γ
που αληθεύει για ν > β.γ .

Η δεύτερη  είναι ότι  οι ρητοί αριθμοί είναι πυκνό σύνολο ή ακριβέστερα σύνολο πυκνό εν εαυτώ.
Αύτό δεν ισχύει ούτε για τους φυσικούς ούτε για τους ακέραιους και σημαίνει ότι μεταξύ δύο άνισων ρητών α, β υπάρχει πάντοτε ένας άλλος ρητός, [παράδειγμα, ο (α+β)/2 ], και επομένως υπάρχουν άπειροι ρητοί.
Παρά αυτά, και οι ρητοί αριθμοί μπορεί να αριθμηθούν


3. Υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Q που αποτελεί σώμα ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών;

Η απάντηση είναι ΟΧΙ.  Δεν υπάρχει σώμα, γνήσιο υποσώμα του Q.
Στο τυχόν υποσώμα του Q  περιλαμβάνονται ο 0 και ο 1. Είναι 1 >0 και α+1 > α .
Ένα σώμα περιλαμβάνει αναγκαστικά μαζί με τον φυσικό 1 και τον 1+1 =2, και τον 2+1 =3 και τον 3+1 =4 και ούτω καθεξής. Περιλαμβάνει έτσι κάθε θετικό φυσικό β. Μαζί όμως με κάθε κάθε θετικό φυσικό β περιλαμβάνει και τον 1/β. Και αν α είναι ένας άλλος ακέραιος θετικός περιλαμβάνει και τον α και μαζί με τον α και τον 1/β περιλαμβάνει και τον (α/1).(1/β) = α/β . Περιλαμβάνει επομένως αναγκαστικά όλους τους θετικούς ρητούς α/β . Περιλαμβάνει όμως και τον μηδέν και επιπλέον περιλαμβάνει αναγκαστικά μαζί με τους θετικούς ρητούς και τους αντίθετούς τους. Περιλαμβάνει επομένως όλους τους ρητούς αριθμούς και έτσι επομένως δεν είναι γνήσιο υποσύνολο του Q.

Οι ρητοί αριθμοί δεν έχουν υποσώματα. Ένα σώμα που δεν έχει υποσώματα λέγεται πρώτο. Οι ρητοί είναι πρώτο σώμα.
Κάθε σώμα που δεν είναι πρώτο περιέχει υποσώματα. Η τομή Β όλων των υποσωμάτων του είναι πρώτο σώμα. Τα υπόλοιπα υποσώματά του δεν είναι πρώτα αφού περιέχουν το Β. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σώμα περιέχει ένα μοναδικό υποσώμα πρώτο.


5. Ποια πρώτα σώματα υπάρχουν; -  Η μοναδικότητα του σώματος Q των ρητών αριθμών

Είδαμε ότι οι ρητοί αριθμοί αποτελούν πρώτο σώμα. Θα δούμε τώρα κάτι άλλο.

Ας θεωρήσουμε τους ακέραιους 0,1,2,3,4,5 ως δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός ακεραίου δια 6 και ας ονομάσουμε το σύνολο αυτών των αριθμών Ζ6.
Ορίζουμε πράξεις στο Ζ6

α+β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α+β) δια 6
α.β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α.β) δια 6

Να διευκρινίσουμε ότι τα αθροίσματα και τα γινόμενα μπορεί να οριστούν με έναν πίνακα χωρίς καμία αναφορά και χρήση άλλων αριθμών εκτός των αριθμών 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ο τρόπος όμως που ορίζουμε τις πράξεις αφ’ ενός είναι ισοδύναμος με τον ορισμό με χρήση πινάκων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, αφ’ ετέρου διευκολύνει τη διαπραγμάτευση του θέματος.
Διαπιστώνουμε εύκολα ότι
- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις προσεταιριστικές
- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις αντιμεταθετικές
- Ο πολλαπλασιασμός είναι πράξη επιμεριστική ως προς την πρόσθεση
- Η πρόσθεση έχει ουδέτερο στοιχείο τον αριθμό τον 0
- Κάθε αριθμού υπάρχει αντίθετος (του 0 ο μηδέν, του 1 ο πέντε, του 2 ο τέσσερα, του 3 ο τρία, του 4 ο δύο, του 5 ο ένα)
- Ο πολλαπλασιασμός έχει ουδέτερο στοιχείο τον 1
- Ο 1 και ο 5 (5.5 =1 στο Ζ6), έχουν αντίστροφο αλλά ο 2, ο 3, και ο 4 δεν έχουν.
- Στο σύνολο υπάρχουν μηδενοδιαιρέτες αφού 2.3 =0 και 3.4 =0 και κανείς από τους αριθμούς 2,3,4 δεν είναι ίσος με 0

Το Ζ6 είναι επομένως δεν είναι σώμα αλλά ούτε καν ακεραία περιοχή . Είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με πολλαπλασιαστικό μοναδιαίο αλλά και με μηδενοδιαιρέτες.

Αν αντί για το Ζ6 πάρουμε το Ζ7 με στοιχεία τους αριθμούς 0,1,2,3,4,5,6 και ορίσουμε στο Ζ7

α+β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α+β) δια 7
α.β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α.β) δια 7


διαπιστώνουμε εύκολα ότι

- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις προσεταιριστικές
- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις αντιμεταθετικές
- Ο πολλαπλασιασμός είναι πράξη επιμεριστική ως προς την πρόσθεση
- Η πρόσθεση έχει ουδέτερο στοιχείο τον αριθμό τον 0
- Κάθε αριθμού υπάρχει αντίθετος
- Ο πολλαπλασιασμός έχει ουδέτερο στοιχείο τον 1
- Κάθε στοιχείου εκτός του 0 υπάρχει αντίστροφο

Χρειάζεται να διευκρινίσω μόνο το τελευταίο.
2.4 = το υπόλοιπο της διαίρεσης του 8 δια 7 = 1 , άρα ο 2 και ο 4 είναι μεταξύ τους αντίστροφοι
3.5 = το υπόλοιπο της διαίρεσης του 15 δια 7 = 1 , άρα ο 3 και 5 είναι μεταξύ τους αντίστροφοι
6.6 = το υπόλοιπο της διαίρεσης του 36 δια 7 = 1 , άρα ο 6 είναι και αντίστροφοις του εαυτού του .
Ο αντίστροφος του 1 είναι ο 1

Τα συμπέρασμα είναι ότι
Το Ζ7 είναι σώμα με τις παραπάνω πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.
Όμως:

-Το Ζ7  δεν είναι διατεταγμένο σώμα. 
Αν ήταν διατεταγμένο, τότε στο υποσύνολο Ρ των θετικών αριθμών του θα ανήκε ο 1 και επομένως και ο 1+1 =2 και ο 2+1 = 3 και ο 3+1 = 4 και ο 4+1 =5 και ο 5+1 =6 και ο 6+1 = 0 και αυτό αντίκειται στο ότι στο Ρ ανήκουν δεν ανήκει το μηδέν.

-Το Ζ7 είναι πρώτο σώμα
Κάθε υποσύνολό του που είναι σώμα περιλαμβάνει το 0, το 1 το 1+1=2, το 2+1 =3 και τελικά όλα τα στοιχεία του Ζ7 και επομένως δεν είναι γνήσιο υποσύνολο του Ζ7.

- Πρώτο αλλά μη διατεταγμένο σώμα αποτελεί κάθε Ζp  με p  πρώτο αριθμό
Τα στοιχεία του είναι οι αριθμοί 0,1,…, (p -1)
Οι πράξεις ορίζονται ως εξής:

α+β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α+β) δια p
α.β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α.β) δια p

Εύκολα διαπιστώνεται είναι μεταθετικός δακτύλιος με πολλαπλασιαστικό μοναδιαίο.
Μπορούμε να δούμε ότι

- Το Ζp  δεν έχει μηδενοδιαιρέτες και άρα είναι ακεραία περιοχή
Αν α.β = 0 στο Ζp   τότε α.β = πολλαπλάσιο του p  στο Ζ. Αφού όμως ο p  είναι πρώτος αυτό σημαίνει ότι ο τουλάχιστον ο ένας από τους α, β είναι πολλαπλάσιο του p . Το μοναδικό όμως πολλαπλάσιο του p μεταξύ των στοιχείων του Ζp είναι ο 0.

- Το Ζp  είναι σώμα
Κάθε πεπερασμένη ακεραία περιοχή είναι σώμα. Ας το δούμε:

Έστω α ένα στοιχείο του Ζp διάφορο του 0. Τότε τα γινόμενα
(α.1), (α.2), …. α.(p-1) είναι διάφορα του 0 αφού το Ζp  δεν έχει μηδενοδιαιρέτες. Είναι όμως και διαφορετικά ανά δύο αφού αν στο Ζp  ίσχυε α.κ = α.λ με κ, λ μη μηδενικά στοιχεία και στο Ζ ίσχυε
 λ > κ θα είχαμε
α.(λ-κ) = 0 στο Ζp  και
α.(λ-κ) = πολλαπλάσιο του p με p πρώτο ακέραιο και α, (λ-κ) θετικούς μικρότερους του p στο Ζ , όπερ άτοπον.
Αφού είναι όμως μη μηδενικά στοιχεία του Ζp  και έχουν πλήθος ίσο με (Ρ-1), όσο και το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων του Zp , κάποιο από αυτά τα γινόμενα ισούται με 1. Άρα υπάρχει στοιχείο αντίστροφο του τυχαίου μη μηδενικού α και επομένως το Ζp  είναι σώμα.

Μήπως  όμως υπάρχουν και άλλα πρώτα σώματα; 

Εννοούμε αλλά από το σώμα των ρητών αριθμών και από τα σώματα Ζp  με p  θετικό πρώτο ακέραιο αριθμό.
Η απάντηση είναι ΟΧΙ. Κάθε πρώτο σώμα με άπειρα στοιχεία είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών και κάθε πεπερασμένο πρώτο σώμα είναι ισόμορφο με κάποιο Ζp  και επομένως ο αριθμός των στοιχείων του είναι αριθμός πρώτος. Ας το δούμε.

Αν σε ένα σώμα το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, και το άθροισμα

1+1+1+1+ .... +1 περιλαμβάνει μ προσθετέους (ο μ είναι θετικός φυσικός αριθμός και όχι κατ' αναγκην στοιχείο του σώματος )

τότε  ορίζεται αυτό το άθροισμα ως το γινόμενο μ.1 [Το + στο άθροισμα είναι το σύμβολο της προσθετικής πράξης στο σώμα. Το επί στο μ.1 αναφέρται σε εξωτερικό πολλαπλασιασμό αφού το μ είναι θετικός φυσικός αριθμός ενώ το 1 είναι στοιχείο του τυχαίου σώματος που εξετάζουμε].

Αν α είναι ένα άλλο μη μηδενικό στοιχείο από το σώμα, τότε για το άθροισμα μ προσθετέων με τον καθένα ίσο με α, έχω

α+α+α+....+α = α.1 +α.1+.... +α.1= α.(1+1+1+ ....+1)  = α.(μ.1)

Και επειδή το α δεν είναι 0 το άθροισμα μ προσθετέων ίσων προς α, μηδενίζεται τότε και μόνον τότε, όταν μηδενίζεται το άθροισμα μ προσθετέων ίσων πρός 1 ή αλλιώς όταν μηδενίζεται το εξωτερικό γινόμενο μ.1
Τα ίδια θα μπορούσαμε να πούμε όχι μόνο για σώμα αλλά και για ακέραια περιοχή .

Αν το σύνολο Α είναι σώμα ή ακέραια περιοχή,  
τότε τον ελάχιστο θετικό φυσικό αριθμό μ για τον οποίο ισχύει μ.1 =0 τον λέμε χαρακτηριστική του σώματος ή της ακέραιας περιοχής .
Αν το γινόμενο αυτό δεν μηδενίζεται για καμιά τιμή του θετικού φυσικού μ,
τότε λέμε ότι το σώμα ή η ακέραια περιοχή έχει χαρακτηριστική 0.

Το Ζ60 δεν είναι σώμα, ούτε ακέραια περιοχή αφού έχει μηδενοδιαιρέτες (6.10=0, ενώ ούτε ο 6 ούτε ο 10 είναι ίσος με 0). Αν ορίζαμε χαρακτηριστική για δακτύλιους θα είχε χαρακτηριστική ίση με 60 (σύνθετο αριθμό)
Το Ζ7 έχει χαρακτηριστική 7, το  Ζ31 έχει χαρακτηριστική 31, το Ζp έχει χαρακτηριστική p (p θετικός πρώτος), και τα Ζp με p πρώτο αποτελούν και ακέραιες περιοχές και σώματα.

Οι ακέραιοι αποτελούν ακέραια περιοχή με χαρακτηριστική ίση προς 0. Η ακέραια περιοχή τους περιλαμβάνει  άπειρα στοιχεία και  μπορεί να επεκταθεί  στο σώμα των ρητών αριθμών.

Λέω ότι

α) Η χαρακτηριστική ενός σώματος και μιας ακέραιας περιοχής είναι ή 0 ή πρώτος αριθμός

Αν η χαρακτηριστική μιας ακέραιας περιοχής ή ενός σώματος Φ ισούται με Ν =(μ.ν) με μ, ν ακεραίους μεγαλύτερους του 1 τότε:

     μ< μ.ν =Ν     και   ν < μ.ν =Ν 


Αν 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού στο σώμα ή στην ακέραια περιοχή  Φ και

α = μ.1 = το άθροισμα μ προσθετέων του Φ, κάθε ένας από τους οποίους ισούται με 1 και
β = ν.1 = το άθροισμα ν προσθετέων του Φ, κάθε ένας από τους οποίους ισούται με 1, τότε

Ούτε  ο α ούτε ο β είναι ίσοι με το 0 του Φ αφού είναι μ &lt;  Ν  και  ν &lt; Ν      και  

α.β = (1+1+ ..... +1).(1+1+ .... +1)
όπου στην πρώτη παρένθεση υπάρχουν μ προσθετέοι και στη δεύτερη υπάρχουν ν προσθετέοι με  τον κάθε ένα προσθετέο ίσο με τον 1 του Φ.

Εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό επιμεριστικά θα βρούμε

α.β = (1+1+ ...... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν τώρα μ.ν  = Ν προσθετέοι  με τον κάθε ένα προσθετέο ίσο με τον 1 του Φ.  Επομένως

α.β = 0 (ο μηδέν του Φ)

Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί ούτε ο α ούτε ο β είναι ίσοι με 0 και το Φ είναι ή σώμα ή ακέραια περιοχή.


β) Κάθε πρώτο σώμα Φ με χαρακτηριστική p (p θετικός πρώτος), είναι ισόμορφο με το σώμα Ζp . 

Έστω Φ ένα πρώτο σώμα με χαρακτηριστική p, όπου p πρώτος αριθμός, 1 το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού στο Φ, ν ένας φυσικός αριθμός και
α = ν.1 = το άθροισμα (1+1+ ..... +1)  με ν προσθετέους ίσους προςτον 1 του Φ.

Θυμίζω ότι το άθροισμα p προσθετέων του Φ ίσων με τον 1 του Φ, είναι ίσο με τον 0 του Φ.

Είναι εύκολο να δούμε ότι αν ν = κ p + υ με κ, υ φυσικούς και υ < p, τότε α = υ.1

Επομένως στοιχεία του Φ είναι τα
(0.1), (1.1), (2.1), (3.1), ....... ,[(p-1).1]
Οι αντίθετοι, οι αντίστροφοί, το άθροισμα ή το γινόμενο κάποιων από αυτά τα στοιχεία είναι πάλι κάποια από αυτά τα στοιχεία.  Αυτά τα στοιχεία αποτελούν ένα σύνολο Φ΄, υποσύνολο εν γένει του Φ. (γνήσιο υποσύνολο αν το Φ περιλαμβάνει και άλλα στοιχεία).
Το Φ΄ αποτελεί επομένως  σώμα για τις ίδιες πράξεις για τις οποίες και το Φ αποτελεί σώμα. Είναι άρα υποσώμα του Φ.
Μπορούμε να αντιστοιχήσουμε στον υ του Ζp το στοιχείο α = υ.1 του Φ΄. Η αντιστοίχηση αυτή, αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο  του Ζp ένα στοιχείο του Φ΄. Επίσης είναι αμφιμονότιμη, καλύπτει όλα τα στοιχεία του Ζp  και του Φ΄,  και διατηρεί τις πράξεις (είναι απλό να αποδειχθεί). Καθιστά επομένως το Ζp ισόμορφο με το Φ΄. Επειδή όμως το Φ είναι πρώτο σώμα δεν μπορεί να έχει γνήσια υποσώματα και γι αυτό είναι  Φ= Φ΄.


γ) Κάθε πρώτο σώμα με χαρακτηριστική 0 είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών  

Έστω Ω ένα πρώτο σώμα με χαρακτηριστική 0 και επομένως άπειρα στοιχεία και Q το σώμα των ρητών αριθμών. Τα στοιχεία του Ω θα τα συμβολίζω με κεφαλαία γράμματα. 
Το Ω έχει μοναδιαίο στοιχείο το 1.  Αν μ, ν είναι θετικός φυσικός αριθμός τότε στοιχεία του Ω είναι ως άθροισμα στοιχείων του και και οι αριθμοί  
Μ = μ.1 = (1+ ... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν μ προσθετέοι, και
Ν  = ν.1 = (1+ ... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν ν προσθετέοι.
Αν  μ < ν     τότε (Ν-Μ) =  (1+ ... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν ν-μ προσθετέοι, και επομένως (Ν-Μ) είναι διάφορο του 0 και άρα Ν είναι διάφορο του Μ.

Ορίζουμε ότι  για τους θετικούς φυσικούς μ, ν θα είναι
(-μ).1 = - (μ.1) = (-Μ)       (-ν).1 = -(ν.1) =  (-Ν)   όπως οι Μ, Ν είναι οι Μ, Ν που αναφέρθηκαν αμέσως πριν και ακόμη ότι
(0.1) = 0  όπου το 0 μέσα στην παρένθεση είναι ο ρητός και ακέραιος 0 και ο 0 στο δεύτερο μέλος είναι ο 0 του Ω
Έτσι στοιχεία το Ω είναι όλοι οι αριθμοί
Α = α.1 με α ρητό ακέραιο και 1 τον 1 του Ω.   Ακόμη  για τον Α = α.1 θα είναι Α = 0 στο Ω αν και μόνο αν α=0 στους ρητούς.
Αντιστοιχώ στον ρητό 1 τον 1 του Ω, στον ρητό 0 τον 0 του Ω, στον ρητό ακέραιο α τον Α = α. 1 του Ω και στον ρητό ακέραιο β τον  Β = β.1 του Ω
Αν β είναι διάφορο του ρητού 0, τότε Β είναι διάφορον του 0 του Ω, άρα υπάρχει ο Β-1  
Είναι Β-1  + Β-1  = (1+1).Β-1  = 2.Β-1

Αν Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι στοιχεία του Ω  με Α = α.1 , Β=β.1 , Γ=γ.1 , Δ=δ.1 , Ε=ε.1 όπου οι α,β,γ,δ,ε είναι ρητοί ακέραιοι και οι β,γ,δ είναι διάφοροι του ρητού 0 τότε και οι  Β,Γ,Δ είναι διάφοροι του 0 στο Ω και ακόμη 

α) Ο Α. Β-1 είναι στοιχείο του Ω Γράφω 1/Β αντί Β-1   και Α/Β αντί Α.Β-1  .

β) (Β. Δ)-1   = Δ-1.B-1
αφού
(Β.Δ). (Δ -1 .B-1) = [(Β.Δ). Δ-1 ].  B-1 =  [Β.(Δ. Δ-1 )].  B-1 =  (Β.1). B-1 =  Β.B-1 =   1

γ) Α/Β = Γ/Δ   αν και μόνο αν  Α.Δ = Β.Γ
αφού 

Α/Β = Α. Β-1   και Γ/Δ = Γ. Δ-1  και
 ΑΒ-1   =   Γ.Δ-1   συνεπάγεται    ΑΒ-1.Β=   Β. Γ.Δ-1   δηλαδή  Α = Β. Γ.Δ-1   και αυτό συνεπάγεται
Α Δ =  (Β.Γ. Δ-1).Δ = Β.Γ  λόγω των ιδιοτήτων του σώματος
Το αντίστροφο είναι επίσης εύκολο να δειχθεί με ανάλογο τρόπο.

δ) Α/Β = (Α.Δ)/ (Β.Δ)
αφού
Α.(Β.Δ) = (Α.Δ).Β    λόγω των ιδιοτήτων του σώματος

ε) Α/Β + Ε/ Β = (Α+Ε)/ Β
αφού
Α/Β +Ε/Β =  Α.Β-1  + Ε. Β-1    (Α +Ε). Β-1  = (Α+Ε)/Β

στ) Α/ Β + Γ/Δ  = (ΑΔ+ΒΓ)/Β.Δ
αφού
Α/Β + Γ/Δ = (Α.Δ)/ (Β.Δ) + (Β.Γ)/(Β.Δ) = (Α.Δ + Β.Γ) / (Β.Δ)

ζ) (Α/Β). (Γ/Δ) = (Α.Γ)/ (Β.Δ)
αφού
(Α/Β). (Γ/Δ) = (Α. Β-1)(Γ. Δ-1)  = ....  = (Α.Γ). ( Β-1. Δ-1) = (Α.Γ). ( Β.Δ)--1    = (Α.Γ)/(Β.Δ)
λόγω των ιδιοτήτων του σώματος και ιδιοτήτων που σε αυτήν την παράγραφο αποδείξαμε.

η) ( Γ/Δ)-1 = (Δ/Γ) 
αφού
(Γ/Δ). (Δ/Γ) = (Γ.Δ)/ (Γ.Δ) = (1/1) σύμφωνα με όσα αποδείξαμε και επομένως ίσο με 1 αφού σε σώμα ισχύει (Χ/1) = X.

Έχοντας αυτά υπόψη αντιστοιχούμε
-στον ρητό ακέραιο α τον Α = α.1 του Ω
-στους  ρητούς  α/β και -(α/β) ( α μη αρνητικός β θετικός ακέραιος), τους Α/Β  και -(Α/Β) του Ω με
Α/Β = (α.1) / (β.1)
-στον 0 των ρητών τον 0 του Ω
-στον 1 των ρητών τον 1 του Ω
-στην πρόσθεση των ρητών την πρόσθεση του Ω
-στον πολλαπλασιασμό των ρητών τον πολλαπλασιασμό του Ω.
Είναι φανερό ότι
- σε κάθε ρητό αντιστοιχεί ένας αριθμός του Ω
- σε δύο διακεκριμένους ρητούς αντιστοιχούν δύο διακεκριμένοι αριθμοί του Ω
- η αντιστοίχηση διατηρεί τις πράξεις αφού ο αντίστοιχος του α/β + γ/δ για παράδειγμα, ισούται με το άθροισμα Α/Β +Γ/Δ στο Ω όπoυ ο Α/Β είναι ο αντίστοιχος του ρητού α/β και ο Γ/Δ είναι ο αντίστοιχος του ρητού γ/δ.

Το σύνολο των στοιχείων του Ω που είναι αντίστοιχα ρητών αριθμών συνιστούν εν γένει ένα υποσύνολο του Ω, έστω το Ω΄ που αποτελεί σώμα ισόμορφο ως προς τις πράξεις προς το σώμα Q των ρητών αριθμών. Επομένως κάθε σώμα με άπειρα στοιχεία περιλαμβάνει ένα υποσώμα ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών.
Ως ισόμορφο με το Q, το Ω΄μπορεί να διαταχθεί. Ως σύνολο θετικών στοιχείων του Ω΄καθορίζονται αναγκαστικά τα στοιχεία του Ω΄ τα αντίστοιχα των θετικών ρητών αριθμών. Επομένως το Ω΄ είναι ισόμορφο προς το Q και ως προς τη διάταξη.

Έχουμε όμως και κάτι άλλο. Το Ω είναι πρώτο σώμα. Αν το Ω΄είναι γνήσιο υποσύνολο του Ω τότε  το Ω περιλαμβάνει άλλο σώμα ως υποσώμα και αυτό αντίκειται στο ότι το Ω είναι πρώτο σώμα. Άρα Ω = Ω΄ και  το Ω είναι ισόμορφο με το σώμα  των ρητών αριθμών. Επομένως κάθε πρώτο σώμα με άπειρα στοιχεία είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών.
Μπορούμε επομένως να πούμε ότι από αλγεβρική άποψη ένα μόνο πρώτο σώμα με άπειρα στοιχεία υπάρχει. Το σώμα των ρητών αριθμών.




6. Πεπερασμένες , άπειρες αλγεβρικές, και υπερβατικές επεκτάσεις του σώματος Q των ρητών αριθμών.


 α) Πρώτο ερώτημα:
Μπορούμε να επεκτείνουμε το σώμα των ρητών αριθμών έτσι ώστε να δημιουργηθεί ένα νέο σώμα που θα περιλαμβάνει όλους τους ρητούς αλλά και τον άρρητο αριθμό "ρίζα του 2";

Ας πούμε αυτό το ελάχιστο από αυτά τα σώματα  Λ και ας γράφουμε τη "ρίζα 2" ως 21/2.
Το  Λ περιλαμβάνει το γινόμενο οποιωνδήποτε στοιχείων του, επομένως και όλα τα ρητά πολλαπλάσια του αριθμού  "ρίζα 2". Περιλαμβάνει έτσι αναγκαστικά όλους του αριθμούς της μορφής β.21/2 με β ρητό. Περιλαμβάνει όμως και όλα τα αθροίσματα στοιχείων του και επομένως όλους τους αριθμούς της μορφής (α + β.21/2 ) με α,β ρητούς.

Λέω ότι
Το Λ, το ελάχιστο σώμα που περιλαμβάνει όλους τους ρητούς και τον αριθμό "ρίζα 2"  είναι το σύνολο όλων των αριθμών της μορφής (α + β.21/2 ) με α,β ρητούς.

Έχω ήδη αποδείξει ότι το ζητούμενο σώμα θα περιλαμβάνει όλους αυτούς τους αριθμούς. Αρκεί επομένως να αποδείξω ότι αυτό το  Λ είναι σώμα με εσωτερικές πράξεις τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό. Πρέπει φυσικά να ξεκινήσω  από το ότι το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών της μορφής (α + β.21/2 )  με α,β ρητούς, είναι αριθμός της ίδιας μορφής.
Η απόδειξη είναι εύκολη. Προφανές είναι ότι το ότι οι δύο πράξεις είναι εσωτερικές , προφανές είναι ότι έχουν μηδενικό στοιχείο τον ρητό 0 και μοναδιαίο τον ρητό 1, προφανές είναι ότι το 0 = (0+0.21/2)  και  1=(1+0.21/2), προφανής ή εξαιρετικά εύκολη η απόδειξη ότι τηρούνται οι υπόλοιπες ιδιότητες του σώματος με μόνη εξαίρεση την ύπαρξη πολλαπλασιαστικού αντιστρόφου της ίδιας μορφής.
Για να αποδείξουμε  την ύπαρξή του αρκεί να αποδείξουμε ότι αν οι ρητοί α, β δεν είναι και οι δύο μηδέν, υπάρχουν τότε δύο ρητοί χ,ψ για τους οποίους ισχύει

(α + β.21/2).(χ + ψ.21/2) = 1

Αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι το σύστημα

α.χ + 2β.ψ = 1
β.χ + α.ψ   = 0

Η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι (α2 - 2β2 )  και δεν μηδενίζεται για β διάφορο του 0 γιατί τότε θα ήταν "ρίζα 2" = α/β  δηλαδή ρητός. Μηδενίζεται επομένως μόνο αν β=0 αλλά τότε θα είναι και α= 0 και δεν είναι αυτή η περίπτωσή μας.
Άρα όταν οι ρητοί α, β δεν είναι και οι δύο 0 το σύστημα έχει μία λύση και φυσικά ρητή. Την 
χ= [α /(α2 - 2β2 )]     ψ =[ (-β) / (α2 - 2β2 )].

Οι αριθμοί του σώματος Λ μπορεί να θεωρηθούν  διανύσματα διαστάσεως 2 επί του σώματος των ρητών αριθμών. Λέμε ακόμη ότι το σώμα Λ προέκυψε από το σώμα των ρητών με μια επέκταση βαθμού 2.

Έστω χ στοιχείο του Λ. Θα είναι      χ =  α + β.21/2        με α,β ρητούς.
Επομένως (χ-α)2 = 2β2και άρα
ο χ είναι ρίζα εξίσωσης δευτέρου βαθμού με ρητούς συντελεστές. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός του σώματος του σώματος Λ είναι αλγεβρικός επί του Q, για αυτό λέμε ότι το Λ αποτελεί αλγεβρική επέκταση του Q. Κάθε πεπερασμένη (πεπερασμένου βαθμού) επέκταση σώματος είναι αλγεβρική επέκταση. Υπάρχουν όμως και αλγεβρικές επεκτάσεις απείρου βαθμού.



β) Δεύτερο ερώτημα. 
Μπορούμε να επεκτείνουμε το σώμα Λ έτσι ώστε να διαμορφωθεί ένα νέο σώμα (σώμα με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού), που θα περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς που περιλαμβάνει το σώμα Λ αλλά επιπλέον και τον αριθμό «τρίτη ρίζα του 2» ;


Αν πω Μ το ελάχιστο τέτοιο σώμα και παραστήσω με κεφαλαία ελληνικά γράμματα τους αριθμούς του σώματος Λ τότε μπορώ να πω ότι το Μ θα αποτελείται από όλους τους αριθμούς χ της μορφής

χ = Α + Β.«τρίτη ρίζα του 2» + Γ.«τρίτη ρίζα του 4» (1)

Γιατί αφού περιλαμβάνει τον αριθμό «τρίτη ρίζα του 2» θα περιλαμβάνει και τον αριθμό «τρίτη ρίζα του 2». «τρίτη ρίζα του 2» = «τρίτη ρίζα του 4». Θα περιλαμβάνει φυσικά και κάθε αριθμό Α του σώματος Λ, και κάθε αριθμό Β.«τρίτη ρίζα του 2» με Β αριθμό του σώματος Λ και κάθε αριθμό Γ.«τρίτη ρίζα του 4» με Γ επίσης αριθμό του σώματος Λ. Για να αποδείξω τον ισχυρισμό μου αρκεί να αποδείξω ότι το σύνολο όλων των αριθμών της μορφής (1), είναι σώμα. 


Αν αντικαταστήσω στην (1) τους Α, Β, Γ με αριθμούς της μορφής (κ+λ.21/2) με κ, λ ρητούς, και θέσω
«έκτη ρίζα του 2» = ω ,
τότε όλοι οι αριθμοί χ του συνόλου Μ θα πάρουν τη μορφή

χ = α +β.ω +γ.ω2 +δ.ω3 +ε.ω4 + ζ.ω5 (2),

όπου α,β,γ,δ,ε,ζ, είναι ρητοί και

ω6 = 2

Με αυτήν τη μορφή των αριθμών του Μ γίνεται φανερό ότι το Μ μπορεί να προκύψει απ’ ευθείας με μία μόνο επέκταση του σώματος Q των ρητών αριθμών έτσι ώστε να δημιουργηθεί το ελάχιστο σώμα που θα περιλαμβάνει και όλους τους ρητούς και την «έκτη ρίζα του 2» = ω. Φυσικά θα περιλαμβάνει και τον αριθμό ω2= «τρίτη ρίζα του 2», ω3= «ρίζα 2», αλλά και τους αριθμούς ω4και ω5. Φυσικά θα περιλαμβάνει και τις υπόλοιπες δυνάμεις του ω αλλά αυτό εξασφαλίζεται από το ότι αυτές είναι ή ρητοί αριθμοί ή ρητά πολλαπλάσια  μιας από τις 5 πρώτες δυνάμεις του ω. Είναι για παράδειγμα  
ω6 = 2,     ω7 = 2.ω,     ω29= 16.ω5 ,    ω-1  = ω5/ 2   και    ω-26 =   ω4/ ω30 = ω4/32 .

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό το Μ είναι σώμα. Το δυσκολότερο σημείο είναι να δείξουμε ότι οι αριθμοί του Μ έχουν αντίστροφους που ανήκουν στο Μ ή ισοδύναμα, ότι έχουν αντίστροφους της μορφής (2).  Ο τρόπος είναι ο ίδιος που εφαρμόσαμε για να αποδείξουμε το ανάλογο στο σώμα Λ, και η απόδειξη απαιτεί γνώση μόνο της στοιχειώδους θεωρίας συστημάτων εξισώσεων πρώτου βαθμού.


Τα στοιχεία του Μ μπορεί να θεωρηθούν ως στοιχεία ενός εξαδιάστατου διανυσματικού χώρου επί του σώματος Q,  και η επέκτασή από το Q στο Μ είναι πεπερασμένη επέκταση  έκτου βαθμού




γ) Τρίτο ερώτημα - Πρώτο μέρος


Ας περάσουμε τώρα στην επέκταση του σώματος  Q των ρητών αριθμών ώστε να σχηματισθεί το ελάχιστο δυνατό σώμα Θ που θα περιελάβανε και τον λ, όπου λ άρρητος αλγεβρικός αριθμός βαθμού ν μεγαλύτερου του 1.Υπάρχει ένα τέτοιο σώμα Θ;   

Ο λ  θα ήταν ρίζα  μιας εξίσωσης νιοστού βαθμού με ακέραιους συντελεστές και δεν θα ήταν ρίζα καμμιάς εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές και βαθμό μικρότερο του ν. Θα ταν επομένως 

ανν + αν-1ν-1 + .... + α1..λ + α0 = 0  με  τους συντελεστές ακέραιους και αν  ≠  0

λν = (-αν-1 / ανν-1 + .... + (-α1./ αν )λ + (-α0 / αν )  =
= σν-1ν-1 + ....  + σ1..λ + σ0
με τους συντελεστές σ, ρητούς αριθμούς. Αυτό συνεπάγεται ότι και όλες οι δυνάμεις του λ βαθμού μεγαλύτερου του ν εκφράζονται ως άθροισμα ενός ρητού αριθμού και ρητών πολλαπλασίων των (ν-1) πρώτων δυνάμεων του λ.
Κάτι ανάλογο δεν μπορεί να γίνει μόνο με ακέραιες θετικές δυνάμεις του λ μικρότερες του ν, γιατί τότε ο λ θα ήταν τότε ρίζα εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές και βαθμού μικρότερου του ν.
Θα πρέπει να παρατηρηθεί ότι και ακέραιες αρνητικές δυνάμεις του λ μπορούν να εκφρασθούν με τον παραπάνω τρόπο.

Επομένως το ελάχιστο σώμα Θ που θα περιελάμβανε και τον λ θα περιελάμβανε όλους  τους αριθμούς χ της μορφής

χ = α + β.λ + ... + σ.  λν-1,   με α, β, ..... , σ     ρητούς αριθμούς.     (3)

Μπορεί να δειχθεί ότι το σύνολο όλων των αριθμών αυτής της μορφής αποτελεί σώμα. Οι δυσκολίες είναι εντελώς όμοιες με τις δυσκολίες της περίπτωσης της επισύναψης στο σώμα των ρητών αριθμών (για το σχηματισμό νέου σώματος), του αριθμού ω = (έκτη ρίζα του 2).  Ανεξάρτητα από το τελευταίο, το ελάχιστο σώμα Θ που περιλαμβάνει τον παραπάνω λ είναι το σύνολο των αριθμών της μορφής (3).
Τα στοιχεία του Θ μπορεί να θεωρηθούν ως στοιχεία ενός νι-διάστατου διανυσματικού χώρου επί του Q, και η επέκταση από το Q στο Θ είναι επέκταση νιοστού βαθμού. Οι αριθμοί
1, λ,  λ2,  .... λν-1,  αποτελούν μια βάση εκφράσεως όλων των στοιχείων αυτού του νι-διάστατου χώρου.
Λέμε ακόμη ότι το σώμα Θ αποτελεί μια επέκταση του σώματος των ρητών αριθμών βαθμού ν και επομένως  πεπερασμένη.

Θέτοντας  στην (3)
1 = x1   λ = x2 , ..... ,  λν-1 =  xν     και

α = α1 ,   β = α2 , ..... , σ = αν 

η (3) γράφεται 

χ  = α1x1 + α2x2 +  ..... + ανxν    (4)

με τους x1 ,  x2 ,  ..... ,xν     ανεξάρτητους μεταξύ τους  και τους
α1α2 ,  ..... ,αν         ρητούς αριθμούς.

(Η γραμμική ανεξαρτησία προκύπτει από το ότι αν οι αριθμοί  
x1 ,  x2 ,  ..... ,xν,       ήταν γραμμικώς εξαρτημένοι θα είχαμε 
α + β.λ + ... + σ.  λν-1, = 0   
για κάποιους ρητούς  α, β,  ......., σ  που δεν είναι όλοι ίσοι με  
μηδέν και επομένως ο λ θα ήταν αλγεβρικός αριθμός βαθμού 
μικρότερου του ν).

Τα στοιχεία  του σώματος Θ αποτελούν επομένως διανυσματικό χώρο διάστασης ν επί του σώματος των ρητών αριθμών και οι
x1 ,  x2 ,  ..... ,xν    
αποτελούν μια βάση αυτού του διανυσματικού χώρου.

 
Εξ άλλου μπορεί να δειχθεί ότι όλα τα στοιχεία του Θ είναι αλγεβρικά επί του σώματος των ρητών αριθμών.
Πράγματι αν t ένας αριθμός της μορφής (3) τότε οι δυνάμεις του t   
1= t0, t1= t,  t2, ….. tν .είναι (ν+1) στοιχεία του νι-διάστατου χώρου  επί  του σώματος Q των  ρητών αριθμών τον οποίο αποτελεί το σώμα  Θ,    και επομένως θα είναι γραμμικά εξαρτημένες. Θα υπάρχουν άρα ρητοί αριθμοί 
β0, β1, β2, ….. βν  όχι όλοι ίσοι με μηδέν για τους οποίους θα ισχύει
βν.tν + ….. +β1.t + β0 = 0
και ο t θα είναι ρίζα του μη μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές
Φ(χ) = βνν + ….. + β1.χ +β0  
και είναι επομένως αλγεβρικός αριθμός βαθμού ν επί του  σώματος των ρητών αριθμών.
Πολλαπλασιάζοντας το Φ(χ) επί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των συντελεστών του, βρίσκουμε ένα μη μηδενικό πολυώνυμο Β(χ) με ακέραιους συντελεστές του οποίου ο α είναι ρίζα. Οι αριθμοί οι αλγεβρικοί επί του Q είναι οι αλγεβρικοί αριθμοί.
Επομένως, όπως έχουμε προαναφέρει, κάθε πεπερασμένη επέκταση σώματος Α είναι αλγεβρική επί του Α.Υπάρχουν όμως και απείρου βαθμού επεκτάσεις που επίσης είναι αλγεβρικές. Υπάρχουν φυσικά και απείρου βαθμού επεκτάσεις που δεν είναι αλγεβρικές.


Τρίτο ερώτημα- μέρος δεύτερο

Βρήκαμε παραπάνω το σώμα Θ που περιλαμβάνει όλους τους ρητούς και τον λ, άρρητο αλγεβρικό αριθμό βαθμού ν με,  ν >1.
Μπορούμε να επεκτείνουμε το Θ με τον ίδιο τρόπο ώστε να περιλάβει και τον  ρ, άρρητο αλγεβρικό αριθμό βαθμού μ,  μ > 1,  που δεν ανήκει στο Θ;

Η επέκταση θα δώσει ένα νέο σώμα Θ΄  που θα αποτελείται από όλους τους αριθμούς Χ της μορφής

Χ = Α + Β.ρ + ..... + Τ.ρμ-1               (5)
όπου οι αριθμοί Α, Β, ....., Τ  είναι στοιχεία του σώματος Θ.

Η επιχειρηματολογία που αναπτύξαμε μέχρι τώρα μπορεί να επαναληφθεί και οδηγεί άμεσα στο συμπέρασμα ότι τα στοιχεία του Θ΄ είναι αλγεβρικά επί του Θ και επομένως και η επέκταση του Θ στο Θ΄ είναι αλγεβρική.

Το θέμα είναι αν τα στοιχεία του Θ΄ είναι αλγεβρικά επί του συνόλου Q των ρητών αριθμών, και αν ναι,  τι  βαθμού επέκταση του  Q αποτελεί το Θ΄;.

Τα στοιχεία του Θ΄ αποτελούν έναν διανυσματικό χώρο διαστάσεως μ επί του σώματος Θ.  Βάση αυτού του διανυσματικού χώρου την αποτελούν οι αριθμοί

1 = ψ1   ρ = ψ2 ..... ,  ρμ-1 = ψμ .

Κάθε στοιχείο του  εκφράζεται ως γραμμικά ως γραμμική συνάρτηση αυτών των στοιχείων με συντελεστές στοιχεία του σώματος Θ. Τα στοιχεία 
ψ1 ψ2 ..... , ψμ  
είναι γραμμικώς ανεξάρτητα μεταξύ τους και αποτελούν  τη βάση του διανυσματικού χώρου.
Για το τυχόν στοιχείο Ψ του Θ΄ μπορούμε να γράψουμε

 Ψ = β1ψ1 + β2x2 +  ..... + βμ ψμ      (6),

όπου  οι συντελεστές είναι στοιχεία του Θ και είναι επομένως της μορφής (4).

Θέτοντας στην (6)

βκ = ακ1.χ1 + ακ2χ2 +  ..... + ακμ χμ          

όπου συντελεστές είναι ρητοί αριθμοί, θα βρω τον τυχόντα αριθμό Ψ του Θ΄ ως άθροισμα ρητών πολλαπλασίων όλων των αριθμών της μορφής   χκψλ ,
όπου το κ είναι ακέραιος από      1   έως     ν         
και ο λ ακέραιος από       1 έως  μ.
Συνολικά σε αυτό το άθροισμα θα υπάρχουν      Ν = (μ.ν)      προσθετέοι.
Έτσι αν Ζ είναι τυχόν στοιχείο του σώματος Θ΄ θα ισχύει

Ζ = γ11.χ1 ψ1  +  γ12.χ1 ψ2  +  ........ +  γ1μ.χ1 ψμ   +
   + γ21.χ2 ψ1  +  γ22.χ2 ψ2  +  ........ +  γ2μ.χ2 ψμ,   +
      ...................................................................
      ...................................................................                      (7)


   
     
      ....................................................................
   + γν1.χν ψ1  +  γν2.χν ψ2  +  ........ +  γνμ.χνψμ   


όπου όλοι οι αριθμοί 
γκλ, είναι ρητοί αριθμοί
Άρα οι αριθμοί χκψλ ,όπως τους αναφέραμε παραπάνω  παράγουν κάθε στοιχείο του Θ΄,  και το σύνολο Θ΄ αποτελεί και απευθείας επέκταση του συνόλου των ρητών αριθμών.
Αποτελούν όμως βάση του Θ΄  επί  του σώματος Q των ρητών αριθμών; Είναι τα χκψλ  γραμμικώς ανεξάρτητα επί του Q;
Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Για να το δείξουμε αρκεί να δείξουμε ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός όλων των χκψλ   με ρητούς συντελεστές, μηδενίζεται μόνο αν είναι ίσοι με μηδέν όλοι οι ρητοί συντελεστές.
Αρκεί επομένως να δείξουμε ότι το άθροισμα του δευτέρου μέλους της   ισότητας (7) μηδενίζεται μόνο αν είναι ίσοι με μηδέν όλοι οι γκλ.

Ονομάζουμε τώρα Σ το άθροισμα του δευτέρου μέλους της   ισότητας (7)  και αθροίζουμε κατά στήλες. Βρίσκουμε,

Σ =  ψ1 11.χ1 + .... + γν1.χν )  + .... +  ψμχ1 + .... + γν2χν )

Οι αριθμοί χκ  (κ ακέραιος από 1 έως ν), αποτελούν βάση του Θ επί του Q. Επομένως τα αθροίσματα μέσα στις παρενθέσεις είναι αριθμοί του Θ, έστω οι
c1 c2 ..... , cμ  
Έχουμε έτσι

Σ = c1ψ1 + c2ψ2 +  ..... + cμ ψμ               (8)

με τους    c1 c2 ..... , cμ       στοιχεία του Θ
ενώ οι      ψ1 ψ2 ..... , ψμ      αποτελούν βάση  του Θ΄   επί του Θ.

Έχω επομένως     Σ = 0    συνεπάγεται
c1  = 0 ,      c2 = 0 , ........,  cμ  = 0

Όμως  c1  =  11.χ1 + .... + γν1.χν )

όπου οι αριθμοί       γ11,    γ21. , ......., γν1.               είναι ρητοί
και οι αριθμοί           x1 ,  x2 ,  ..... ,xν          αποτελούν μια βάση του σώματος Θ επί των ρητών αριθμών.

Έτσι η σχέση     c1  = 0 ,     συνεπάγεται ότι
γ11 = 0,      γ21. =  0, ......., γν1 = 0

Ομοίως οι σχέσεις  c2 = 0 , ........,  cμ  0
συνεπάγονται ότι και όλοι οι υπόλοιποι γκλ.χ είναι ίσοι με μηδέν

Αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο. Το σώμα Θ΄ επομένως μπορεί να κατασκευαστεί απ' ευθείας από το σύνολο Q των ρητών αριθμών με μία μόνο επέκταση βαθμού Ν = ν.μ, που είναι  επομένως πεπερασμένη και ως εκ τούτου αλγεβρική.




Τέταρτο ερώτημα. 
Θα μπορούσαμε με τον ίδιο τρόπο να βρούμε ένα σώμα που να περιλαμβάνει έναν συγκεκριμένο υπερβατικό αριθμό δ  και όλους τους ρητούς αριθμούς;

Το σώμα αυτό θα έπρεπε να περιλαμβάνει όλες τις ακέραιες δυνάμεις του δ και όλα τα ρητά πολλαπλάσιά τους. Δεν μπορούν όμως όλες αυτές οι ακέραιες δυνάμεις του δ να εκφράζονται ως άθροισμα ενός ρητού αριθμού και ρητών πολλαπλασίων κάποιων συγκεκριμένων και πεπερασμένου πλήθους ακεραίων δυνάμεων του δ, αφού αν συνέβαινε αυτό ο δ θα ήταν αλγεβρικός. Η απάντηση επομένως στο τελευταίο ερώτημά μας είναι αρνητική. Δεν μπορούμε με τη μέθοδο που επισυνάπτουμε στο σώμα των ρητών αλγεβρικούς αριθμούς να επισυνάψουμε πεπερασμένου πλήθους υπερβατικούς αριθμούς και να δημιουργήσουμε ένα καινούριο σώμα. Ένας υπερβατικός αριθμός θα μπορούσε να εννοηθεί ως αλγεβρικός αριθμός απείρου βαθμού και θα χρειαζόμαστε για την επισύναψή του στο σώμα των ρητών αριθμών μια απείρου βαθμού επέκταση. Η επέκταση αυτή δεν θα είναι αλγεβρική αφού θα περιλαμβάνει τον δ που δεν είναι αλγεβρικός επί του Q. Υπάρχουν όμως όπως έχουμε πει και επεκτάσεις απείρου βαθμού που είναι αλγεβρικές.

ε) Πέμπτο ερώτημα

Υπάρχει όμως άραγε μια επέκταση του σώματος των ρητών αριθμών   που περιλαμβάνει πέραν των ρητών και όλους τους άρρητους αλγεβρικούς αριθμούς και μόνον αυτούς;  Με άλλα λόγια, το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών (ρητών και άρρητων), είναι σώμα;


ε1) Οι ευκλείδιοι αριθμοί

Θα απαντήσουμε και στο τελευταίο ερώτημα. Προηγουμένως όμως θα ασχοληθούμε με ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των αλγεβρικών αριθμών που περιλαμβάνει  το σώμα των  ρητών αριθμών ως γνήσιο υποσύνολό του. Πρόκειται για το σύνολο των ευκλείδιων αριθμών. Θυμίζω ότι,

"λέμε έναν αριθμό χ Ευκλείδειο ή αλλιώς κατασκευάσιμο αν μπορεί να κατασκευασθεί «με τον κανόνα και τον διαβήτη» ευθύγραμμο τμήμα μήκους χ". Δίδεται φυσικά ένα συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα ως μονάδα μέτρησης των μηκών.
Αποδεικνύεται ότι οι Ευκλείδειοι αριθμοί είναι οπωσδήποτε αλγεβρικοί αριθμοί αλλά όχι οποιουδήποτε βαθμού.

Ευκλείδειος είναι ο αλγεβρικός αριθμός που ο βαθμός του είναι δύναμη του 2,
ή αλλιώς
Ευκλείδειος είναι ο αλγεβρικός αριθμός του οποίου η ελάχιστου βαθμού πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που τον δέχεται ως λύση έχει βαθμό που ισούται με κάποια δύναμη του 2
 (βαθμό πρώτο = 20 =  1 ή βαθμό δεύτερο = 21 =  2 ή βαθμό τέταρτο = 22 =  4 ή βαθμό όγδοο = 23 = 8  και ούτω καθεξής)".

Να διευκρινίσω ότι στον ορισμό περιλαμβάνουμε και αρνητικά μήκη. Αν ορίσουμε ένα σημείο Ο επί ευθείας ως αρχή μετρήσεως των μηκών και ένα σημείο Α με το μήκος (ΟΑ) να ορίζεται ως η μονάδα μέτρησης των μηκών, τότε μπορούμε τα μήκη  ΟΔ να τα μετράμε ως θετικά αν το Ο δεν βρίσκεται μεταξύ των Δ και Α και ως αρνητικά στην αντίθετη περίπτωση. Το μήκος του όποιου έυθύγραμμου τμήματος ΒΒ είναι 0.

Είναι προφανές ότι δεδομένου ένός τμήματος ΓΓ΄μήκους α και ενός τμήματος ΒΒ΄μήκους β κατασκευάζεται τμήμα ΧΧ΄μήκους ίσου με (α+β). Κατασκευάζετει επίσης και τμήμα ΨΨ΄μήκους ψ = (α.β). Πράγματι αρκεί να κατασκευασθεί το τμήμα ΨΨ΄με βάση τη σχέση

(ΟΑ) . (ΨΨ΄) = (ΓΓ΄) . (ΒΒ΄)      ή        ΟΑ / ΓΓ΄= ΒΒ΄/ ΨΨ΄

ως τμήμα  'τετάρτη ανάλογος " των τριών άλλων. Θυμίζω ότι το μήκος του (ΟΑ) είναι 1. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι κατασκευής του γινομένου α.β που κάνουν. Ακόμη, ο 0 είναι ευκλείδειος,  ο 1 είναι ευκλείδειος, ο αντίθετος ενός ευκλείδειου αριθμού είναι προφανώς ευκλείδειος και μπορεί να αποδειχθεί γεωμετρικά ότι  και ο αντίστροφος ενός ευκλείδειου αριθμού είναι επίσης ευκλείδειος δηλαδή κατασκευάσιμος.
Το να συνεχίσουμε όμως να εξετάζουμε γεωμετρικά τις υπόλοιπες ιδιότητες των πράξεων μεταξύ ευκλείδειων αριθμών δεν είναι κάτι που χρειάζεται να μας απασχολήσει. Οι ευκλείδειοι αριθμοί είναι ή ρητοί αριθμοί, ή άρρητοι αλγεβρικοί αριθμοί βαθμού ίσου με δύναμη του 2. Επί του παρόντος αναφερόμαστε σε πραγματικούς ευκλείδειους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν όλες οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν για πραγματικούς αριθμούς. Είτε όμως αναφερθούμε  σε πραγματικούς αριθμούς, είτε αναφερθούμε σε μιγαδικούς αριθμούς οι πράξεις έχουν τις ίδιες ιδιότητες. Η διαφορά είναι ότι οι πραγματικοί αποτελούν διατεταγμένο σώμα ενώ δεν είναι δυνατόν να διαταχθεί ως σώμα το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Οι ευκλείδειοι αριθμοί ικανοποιούν επομένως και τις υπόλοιπες ιδιότητες των πράξεων και αυτό μπορεί να αποδειχθεί και αυτοτελώς. Επειδή όμως δεν θα βασίσουμε την κατασκευή του σώματος των πραγματικών αριθμών στους ευκλείδειους αριθμούς μπορούμε να συναγάγουμε αυτές τις ιδιότητες από τις αντίστοιχες ιδιότητες των πραγματικών αριθμών στους οποίους θα αναφερθούμε αργότερα. Οι Ευκλείδιοι αριθμοί αποτελούν σώμα.


ε2) Το σώμα των αλγεβρικών αριθμών

Και ερχόμαστε τώρα να απαντήσουμε του αν το σύνολο Α των αλγεβρικών αριθμών  είναι σώμα για τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Ή απάντηση είναι ΝΑΙ. Οι αλγεβρικοί αριθμοί αποτελούν σώμα.
Οι αριθμοί 0 και 1 είναι αλγεβρικοί άρα το σύνολο Α των αλγεβρικών αριθμών περιλαμβάνει ουδέτερα στοιχεία για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.

Έστω ότι ο λ είναι αλγεβρικός αριθμός. Θα είναι τότε ο λ ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ως προς χ με ακέραιους συντελεστές έστω την Α(χ) = 0.
Αν στην εξίσωση αυτήν θέσουμε όπου χ το (-χ), θα προκύψει μια νέα πολυωνυμική εξίσωση. Η εξίσωση αυτή θα έχει τους ίδιους συντελεστές με την αρχική στις άρτιες δυνάμεις του χ και αντίθετους συντελεστές από την αρχική στις περιττές δυνάμεις του χ. Θα έχει έτσι  ακέραιους συντελεστές  και επιπλέον  θα επαληθεύεται
για (-χ) = λ δηλαδή για χ = (-λ).  Άρα και ο (-λ) είναι αλγεβρικός.
Επομένως στο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών κάθε αριθμός έχει τον αντίθετό του.

Αν τώρα ο λ δεν είναι ίσος με 0 μπορούμε να βρούμε μιαν άλλη πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που θα έπαληθεύεται για χ = (1/λ). Πράγματι αν στην αρχική εξίσωση  Α(χ) = 0, θέσουμε όπου χ το (1/χ) και κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών θα προκύψει μια νέα πολυωνυμική εξίσωση που θα έχει τους ίδιους συντελεστές με την αρχική σε αντίστροφη όμως σειρά. Θα έχει επομένως και αυτή η πολυωνυμική εξίσωση ακέραιους συντελεστές και προφανώς θα επαληθεύεται για (1/χ) = λ, δηλαδή για χ = (1/λ). Άρα και ο 1/λ  είναι αλγεβρικός.
Επομένως στο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν (το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης),  έχει τον αντίστροφό του.


Για να αποδείξουμε τώρα ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών αποτελεί σώμα πρέπει να δείξουμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ αλγεβρικών αριθμών είναι εσωτερικές πράξεις του συνόλου. Με άλλα λόγια πρέπει να δείξουμε  το άθροισμα και το γινόμενο αλγεβρικών αριθμών είναι αλγεβρικοί αριθμοί.
Τις υπόλοιπες ιδιότητες του σώματος δεν θα τις δείξουμε. Προκύπτουν αμέσως από το ότι οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι μιγαδικοί εν γένει αριθμοί και από το ότι για την κατασκευή του σώματος των μιγαδικών αριθμών και την απόδειξη των ιδιοτήτων των πράξεων μεταξύ μιγαδικών εν γένει αριθμών, δεν χρησιμοποιούμε τη θεωρία για τους αλγεβρικούς αριθμούς ούτε τις  ιδιότητες τους.
Το ίδιο ισχύει και για το σύνολο των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών. Τo άθροισμα και το γινόμενο δύο πραγματικών αλγεβρικών αριθμών θα  είναι προφανώς πραγματικός αλγεβρικός αριθμός. Οι υπόλοιπες ιδιότητες του σώματος και για αυτό το σύνολο προκύπτουν από το ότι οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί είναι πραγματικοί αριθμοί και από το ότι για την κατασκευή του σώματος των πραγματικών αριθμών δεν χρησιμοποιούμε ιδιαίτερες  ιδιότητες των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών. 
Το ότι οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί αποτελούν διατεταγμένο σώμα  για τις ίδιες πράξεις θα προκύψει επίσης αμέσως από το ότι θα έχει δειχθεί ότι οι πραγματικοί αλγεβρικοί αποτελούν υποσώμα του σώματος των πραγματικών αριθμών.

Θα δείξουμε με δύο τρόπους ότι το άθροισμα και το γινόμενο δύο αλγεβρικών αριθμός είναι αλγεβρικός αριθμός. Χρειάζεται να το δείξουμε μόνο στην περίπτωση που και οι δύο είναι διαφορετικοί από το μηδέν.

Ι)  Έστω Α ένας αλγεβρικός αριθμός βαθμού ν, και Β ένας αλγεβρικός αριθμός βαθμού μ διαφορετικοί από τον μηδέν. 

Ο Α θα είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού ν με ακέραιους συντελεστές, έστω της

ανxν + αν-1xν-1 + αν-2xν-2 …….  + α1x + α0  =  0       (1)   με  αν  και α0  διάφορους του μηδέν,

και ο Β θα είναι ρίζα  μιας πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού μ με ακέραιους συντελεστές, έστω της 

 βμxμ + βμ-1xμ-1 βμ-2xμ-2  …….  + β1x + β0  =  0       (2)  με  βμ  και  β0 διάφορους του μηδέν



Έστω  χ1 = Α,   χ2 , ..... ,  χν   είναι οι ν κατά το πλήθος ρίζες της εξίσωσης (1). Αν μια ρίζα είναι διπλή θα έχει περιληφθεί δύο φορές, αν είναι τριπλή θα έχει περιληφθεί τρεις φορές, κ.ο.κ. Τότε

ανxν + αν-1xν-1 +   + α0  =   αν(x - χ1).(x - χ2).  ... . (x - χν)      ( 1β)

Η σχέση ( 1β) είναι ταυτότητα που ισχύει για όλες τις τιμές του x.  Οι παραστάσεις του πρώτου και του δεύτερου μέλους της ( 1β) είναι ταυτόσημες.

Αν θέσουμε

 χ1 + χ2 + + χν  =  S1  


χ12+…      =  S2  

χ123 + ... =  S3

........
........
........
χ12. ... .χν   =   Sν

όπου  Sκ είναι  το άθροισμα των γινομένων των ριζών λαμβανομένων ανά κ καθ' όλους τους δυνατούς τρόπους (το Sνείναι καταχρηστικό άθροισμα ενός προσθετέου ίσου προς το γινόμενο όλων των ριζών), από την ταυτότητα (3) προκύπτει  ότι

  S1 = -αν-1 /αν           S2 =  αν-2 /αν          S3 = -αν-3 /αν      και γενικά

Sκ (-1)καν /αν .

Επομένως αν οι συντελεστές της (1) είναι ακέραιοι ή γενικότερα ρητοί αριθμοί, τότε  όλα τα Sκείναι ρητοί αριθμοί.

Τα αθροίσματα  S1, S2, ... , Sν   είναι τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα των ριζών της εξίσωσης.
Είναι συμμετρικά ως προς τις ρίζες  χ1 ,   χ2 , ..... , χν  σημαίνει ότι δεν μεταβάλλονται με κυκλική εναλλαγή  των  χ1 ,   χ2 , ..... ,  χν.   Δηλαδή αν  για παράδειγμα θέσουμε σε όλα τα  Sκ όπου χ1 την χ2 ,  όπου χκ γενικά την χκ+1 και όπου χν την χ1  , τότε όλα τα Sκ θα παραμείνουν αμετάβλητα.
Πρέπει ακόμη να πούμε ότι κάθε ρητή και κυκλικά συμμετρική παράσταση των χκ, εκφράζεται ως ρητή συνάρτηση των  Sκ , και επομένως αν τα Sκείναι ρητοί αριθμοί τότε κάθε ρητή και κυκλικά συμμετρική παράσταση των χκ, ισούται με ρητό αριθμό.

Έστω  τώρα ρ1 = Β,   ρ2 , ..... ,  ρμ   είναι οι μ κατά το πλήθος ρίζες της εξίσωσης (2). Αν μια ρίζα είναι διπλή θα έχει περιληφθεί δύο φορές, αν είναι τριπλή θα έχει περιληφθεί τρεις φορές, κ.ο.κ. Τότε αν 


Σκ είναι  το άθροισμα των γινομένων των ριζών της (2) λαμβανομένων ανά κ καθ' όλους τους δυνατούς τρόπους θα έχω

Σκ (-1)κβμ / βμ .και επομένως όλα τα Σκείναι ρητοί αριθμοί.

Σχηματίζω τώρα την εξίσωση που έχει ως ρίζες της όλους τους αριθμούς φξ που ισούνται με το άθροισμα μιας ρίζας της (1) και  μιας ρίζας της (2) . Θα έχω εν γένει

φξ = χκ + ρλ  .

Η εξίσωση  αυτή θα έχει πλήθος ριζών Ν ίσο προς (μ.ν),  όταν  κάθε ρίζα λαμβάνεται τόσες φορές όσες φορές εμφανίζεται ως άθροισμα της μορφής χκ + ρλ  . Μία ρίζα της έστω η φ1, ισούται με
 χ1 + ρ1 = Α + Β.
 Έστω σ1, σ2, ... , σΝ  
τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα των ριζών αυτής της εξίσωσης με  σκ ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ριζών των ριζών της λαμβανομένων ανά κ καθ' όλους τους δυνατούς τρόπους.

Αν     Ν = μ.ν,     η εξίσωση θα είναι η

 γΝxΝ + γΝ-1xΝ-1 + γΝ-2xΝ-2 …  + γκxΝ +…. + γ0  =  0  ή


xΝ + Ν-1/ γΝ)xΝ-1 + Ν-2/ γΝ)xΝ-2 …  + (γκ/ γΝ)xΝ ++ 0 / γΝ) =  0  ή

 xΝ - σ1.xΝ-1 + σ2.xΝ-2 …  + (-1)κσκ.xΝ ++ (-1)ΝσΝ =  0   (3)

Αν στο  σ1  θέσουμε  όπου χ1 την  χ2 ,   όπου   χ2 την  χ3 κ.ο.κ. , τότε το σ1 δεν θα μεταβληθεί. Το σ1,είναι άρα  ρητή  και  κυκλικά συμμετρική παράσταση των   χ1 χ2 , ..... ,  χν,  και  επομένως ρητή παράσταση  όλων των Sκ  που είναι ρητοί αριθμοί.
Με τον ίδιο τρόπο συμπεραίνουμε ότι το σείναι ρητή συνάρτηση όλων των Σκ που επίσης είναι ρητοί αριθμοί.
Άρα το σ1 ισούται με ρητό αριθμό.

Ό,τι ισχύει για το σ1 , ισχύει για όλα τα σκ. Όλα τα σκ είναι ίσα προς ρητούς αριθμού. Η εξίσωση  (3) έχει ρητούς συντελεστές. Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της επί κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των συντελεστών της, βρίσκουμε μια εξίσωση με ακέραιους συντελεστές της οποίας μία ρίζα είναι ο αριθμός

φ1 = χ1 + ρ1  = Α + Β .

Αυτό σημαίνει ότι αν οι Α, Β είναι αλγεβρικοί αριθμοί τότε αλγεβρικός αριθμός είναι και ο (Α + Β).


Για να αποδείξουμε ότι και ο Α.Β είναι αλγεβρικός θα κατασκευάσουμε μια εξίσωση με ρίζες της όλους τους αριθμούς  
υξ = χκ.ρλ
που ισούνται με το γινόμενο μιας ρίζας της (1) και  μιας ρίζας της (2)  και θα εργασθούμε όπως και στην περίπτωση  που αποδείξαμε ότι ο Α+Β  είναι αλγεβρικός.

ΙΙ) Ο δεύτερος τρόπος απόδειξης της αλγεβρικότητας των (Α+Β) και (Α. Β) αποτελεί σύνθεση των απαντήσεων στο τρίτο  και στο τέταρτο από τα ερωτήματα που έχουμε ήδη απαντήσει. Συγκεκριμένα, όταν μας δοθούν δύο άρρητοι αλγεβρικοί αριθμοί Α και Β μπορούμε πρώτα να επεκτείνουμε  το σώμα των ρητών Q δημιουργώντας το ελάχιστο σώμα QA που περιλαμβάνει όλους τους ρητούς αριθμούς και τον άρρητο αλγεβρικό Α, και στη συνέχεια να επεκτείνουμε το QA δημιουργώντας το ελάχιστο σώμα Q  που περιλαμβάνει τα στοιχεία του QA και τον άρρητο αλγεβρικό αριθμό Β. Το σώμα που προκύπτει από τις δύο  επεκτάσεις έχει πεπερασμένη βάση γραμμικής έκφρασης των στοιχείων του  με ρητούς συντελεστές  και αποτελεί έτσι αλγεβρική επέκταση του Q . Επομένως κάθε στοιχείο του Q  είναι αλγεβρικό επί του Q αφού η προσθήκη στο Q έστω και ενός υπερβατικού στοιχείου έτσι ώστε να δημιουργηθεί νέο σώμα, συνεπάγεται ότι δεν θα υπάρχει πεπερασμένη βάση μέσω της οποίας θα μπορούσαν και στην περίπτωση της προσθήκης υπερβατικού στοιχείου να αποδοθούν γραμμικά και με συντελεστές ρητούς αριθμούς, όλα τα στοιχεία του διευρυμένου σώματος.
Τα στοιχεία του  σώματος Q  είναι επομένως όλα αλγεβρικά επί του Q, και μεταξύ των στοιχείων του περιλαμβάνονται οι διάφοροι του μηδέν αριθμοί  Α και Β αλλά, επειδή το Q  είναι σώμα, και οι αριθμοί (-Α), (-Β), (1/Α), (1/Β), (Α+Β), (Α.Β).

Αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.




7. Πλήρη αριθμητικά συστήματα


7.1. Η έννοια της πληρότητας αριθμητικού συστήματος

Οι αρχαίοι Έλληνες εννοούσαν τους αριθμούς όπως η σύγχρονη φυσική, δηλαδή ως λόγους ομοειδών μεγεθών.  Μια επιφάνεια θα μπορούσε να μετρηθεί με το λόγο της προς μια  επιφάνεια που θα είχε ορισθεί ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών. Το μέγεθος της θα καθοριζόταν πλήρως,  όπως και στη σημερινή πρακτική με  τον λόγο αυτό, και την επιφάνεια που είχε καθορισθεί ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών. Μια επιφάνεια είναι λέμε 3 τετραγωνικά μέτρα, είναι δηλαδή τριπλάσια από την επιφάνεια ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους ενός μέτρου που έχει καθορισθεί ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών.
Είχαν επίσης κατανοήσει ότι αν είχαν στη διάθεσή τους αριθμούς με τους οποίους θα μπορούσαν να μετρήσουν το λόγο δύο οποιωνδήποτε μηκών, θα μπορούσαν με τους ίδιους αριθμούς να μετρήσουν το λόγο δύο οποιωνδήποτε επιφανειών, δύο οποιωνδήποτε όγκων, δύο οποιωνδήποτε βαρών, δύο οποιωνδήποτε ειδικών βαρών, δύο οποιωνδήποτε  χρονικών διαστημάτων, δύο οποιωνδήποτε ταχυτήτων κ.ο.κ.
Έτσι όρισαν τους αριθμούς ως λόγους μηκών. Όριζαν αυθαίρετα το μήκος ενός  ευθύγραμμου τμήματος ως μονάδα μέτρησης των μηκών και το λόγο του όποιου άλλου μήκους L προς τη  μονάδα μέτρησης των μηκών όρισαν ως τον αριθμό που μετρά  το μήκος L με τη συγκεκριμένη μονάδα μέτρησης.
Όλοι οι δυνατοί λόγοι μηκών αποτέλεσαν το αριθμητικό  σύστημα των αρχαίων Ελλήνων που είναι ταυτόσημο με αυτό που ονομάζουμε σήμερα σύνολον των θετικών πραγματικών αριθμών, ρητών και αρρήτων. Η θεωρία λόγων και αναλογιών που ανέπτυξαν τους επέτρεπε να συγκρίνουν και να χειρίζονται τέτοιους αριθμούς και να αντιμετωπίζουν κάθε σχετικό ζήτημα.

Παίρνουμε τώρα μια ημιευθεία με αρχή το σημείο Ο, και πάνω σε αυτήν το σημείο Α   με το ΟΑ να αποτελεί τη μονάδα μέτρησης των μηκών.  Αν Χ είναι τυχόν σημείο της ημιευθείας τότε ο λόγος (ΟΧ) / (ΟΑ) ισούται με έναν αριθμό. Επομένως κάθε σημείο της ημιευθείας αντιστοιχείται μέσω αυτής της διαδικασίας με έναν αριθμό του αριθμητικού συστήματος των αρχαίων Ελλήνων.
Αν πάρουμε επί της ημιευθείας το σημείο  Δ έτσι ώστε το (ΟΔ) να είναι ίσο προς το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου πλευράς (ΟΑ), τότε στο αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Ελλήνων, στο σημείο Δ αντιστοιχεί ένας αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με 2. Δεν υπάρχει όμως ρητός αριθμός που το τετράγωνό του να ισούται με 2. Επομένως δεν υπάρχει ρητός αριθμός που μετρά το μήκος ΟΔ. Δεν υπάρχει ρητός αριθμός στον οποίο μπορεί να αντιστοιχηθεί το σημείο Δ. Το σύστημα των ρητών αριθμών δεν επαρκεί για τη μέτρηση οποιουδήποτε μεγέθους, το σύστημα των ρητών αριθμών δεν επαρκεί για την ένα προς ένα αντιστοίχηση των σημείων μιας ευθείας με όλους τους αριθμούς, το σύστημα των ρητών αριθμών δεν είναι πλήρες.

Ας επανέλθουμε στην ημιευθεία μας. Ονομάζω δ τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σημείο Δ. Το τετράγωνο του δ ισούται με 2 και επομένως ο δ  δεν είναι ρητός αριθμός.Το σημείο Δ διαιρεί την ημιευθεία σε δύο τμήματα. Το Ο και κάθε σημείο του ΟΔ προηγείται κάθε σημείου της υπόλοιπης ημιευθείας.
Ας διαιρέσουμε τώρα όλους τους ρητούς αριθμούς σε δύο κλάσεις. Η πρώτη κλάση κλάση περιλαμβάνει όλους τους αρνητικούς ρητούς αριθμούς και από τους μη αρνητικούς, εκείνους που το τετράγωνό τους είναι μικρότερο από τον αριθμό 2. Η δεύτερη κλάση περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ρητούς αριθμούς που το τετράγωνό τους υπερβαίνει τον αριθμό 2. Ο Κάντορ είχε θεωρήσει σημαντικό:
-Ότι καμιά από τις δύο κλάσεις δεν είναι κενή , ότι οι δύο κλάσεις δεν έχουν κοινά στοιχεία και ότι οι δύο μαζί περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς αριθμούς
- Ότι κάθε αριθμός της πρώτης κλάσης είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της δεύτερης κλάσης.
- Ότι δεν υπάρχει ρητός που το τετράγωνό του ισούται με τον αριθμό 2
(Το ότι  δεν υπάρχει ρητός που το τετράγωνό του ισούται με τον αριθμό 2 έχει δειχθεί στην ανάρτηση για την ανακάλυψη των αρρήτων και στην ανάρτηση για τον ορισμό της ισότητας λόγων.)
- Ότι από κάθε αριθμό της πρώτης κλάσης υπάρχει ρητός μεγαλύτερός του που ανήκει επίσης στην πρώτη  κλάση και  από κάθε αριθμό της δεύτερης κλάσης υπάρχει μικρότερος ρητός αριθμός που ανήκει επίσης στην δεύτερη κλάση. 
(Γιατί αν χ ένας θετικός ρητός αριθμός με  χ2 &lt; 2  και θ ένας ρητός θετικός αριθμός μικρότερος του αριθμού 1, μπορώ να επιλέξω τον θ έτσι ώστε να είναι  και  (χ+θ)2 &lt; 2
Πράγματι, αρκεί να επιλέξω τον θ έτσι ώστε να είναι
χ2 + 2χθ + θ2 &lt; 2  ή     2χθ + θ2 &lt; 2 -  χ2    
Επειδή ο θ είναι θετικός και μικρότερος του 1 είναι   θ2 &lt; θ και επομένως αρκεί να είναι
2χθ + θ &lt; 2 - χ2      ή     θ &lt;  (2 -  χ2 ) / (2χ+1)
και επειδή [(2 -  χ2 ) / (2χ+1)] > 0,  υπάρχουν άπειρα θετικοί θ μικρότεροι του 1 που ικανοποιούν αυτήν τη σχέση . Αν ε = min{1,  [(2 -  χ2 ) / (2χ+1)]} αρκεί να είναι θ < ε .  Ο ε  είναι θετικός αροθμός.

Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται και το δεύτερο μέρος της πρότασης).

- Ότι στους αριθμούς  του αρχαιοελληνικού αριθμητικού συστήματος, υπήρχε ανάμεσά τους ο αριθμός δ που το τετράγωνό του ισούται με τον αριθμό 2 και είναι επομένως μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της παραπάνω πρώτης κλάσης και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της δεύτερης κλάσης.

Τις επισημάνσεις αυτές του Κάντορ (Georg Cantor), αξιοποίησε ο ίδιος αλλά και ο Ντέντεκιντ για την κατασκευή ενός πλήρους αριθμητικού συστήματος με βάση το αριθμητικό σύστημα των ρητών αριθμών. Είχαν κατά νου και οι δύο αλλά και ο Βάιερστρας ότι οι αρχαίοι Έλληνες είχαν ουσιαστικά ορίσει μέσω των ρητών αριθμών τους αριθμούς του διευρημένου αριθμητικού τους συστήματος αφού ουσιαστικά είχαν ορίσει ότι δύο αριθμοί είναι ίσοι όταν δεν υπάρχουν μεταξύ τους ρητοί αριθμοί και ότι ακόμη το αξίωμα το ονομαζόμενο του Ευδόξου ή του Αρχιμήδη συνεπαγόταν αμέσως ότι μεταξύ δύο διαφορετικών αριθμών υπάρχουν πάντοτε ρητοί αριθμοί.



7.2 Οι πραγματικοί αριθμοί ως τομές του συνόλου των ρητών αριθμών

Ο Ντέντεκιντ σκέφτηκε έναν τρόπο να διευρύνει το σύνολο των ρητών αριθμών κατασκευάζοντας από τους ρητούς ένα νέο αριθμητικό σύστημα. Έθεσε ως αξίωμα ότι

Για  οποιοδήποτε  διαμερισμό του συνόλου όλων των ρητών αριθμών σε δύο μη κενές κλάσεις έτσι ώστε κάθε αριθμός της πρώτης κλάσης να είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της δεύτερης κλάσης ,
υπάρχει πάντοτε ένας αριθμός του διευρυμένου του αριθμητικού του συστήματος,
ο οποίος μπορεί ανάλογα με την περίπτωση να είναι ή να μην είναι ρητός και
ο οποίος είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της πρώτης κλάσης και μικρότερος από όλους τους  αριθμούς της δεύτερης κλάσης 


Οι τομές ρητών ως πραγματικοί αριθμοί  είναι το διευρυμένο αριθμητικό σύστημα που κατασκεύασε και παρουσίασε  ο Ντέντεκιντ το 1872, οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί ήταν το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Έλληνες΄. 

Σε μια τομή των ρητών αριθμών μπορεί όπως είδαμε να μην υπάρχει ρητός αριθμός που να είναι μεγαλύτερος  από όλους τους αριθμούς της πρώτης κλάσης και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της δεύτερης κλάσης. Στην περίπτωση μας η τομή ορίζει  και εκπροσωπεί τον πραγματικό μη ρητό ή άλλιώς άρρητο αριθμό  που αντιστοιχεί σε αυτήν και είναι μεγαλύτερος από όλους τους ρητούς αριθμούς της πρώτης της κλάσης της τομής και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της δεύτερης κλάσης. Λέμε ότι μια τέτοια τομή είναι μια τομή πρώτου είδους.
Υπάρχουν και τομές δεύτερου είδους. Μπορεί να υπάρχει ρητός αριθμός που να είναι  μεγαλύτερος  από όλους τους αριθμούς της πρώτης κλάσης και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της δεύτερης κλάσης. Για παράδειγμα αν βάλουμε στην πρώτη κλάση όλους τους ρητούς τους μικρότερους του 3 και στη δεύτερη όλους τους ρητους αριθμούς τους μεγαλύτερους του 3, μας μένει ο ρητός αριθμός 3 που μπορεί να τεθεί ή ως μέγιστος αριθμός της πρώτης κλάσης ή ως ο ελάχιστος της δεύτερης κλάσης. Εμείς θα τον θέτουμε ως ελάχιστο αριθμό της δεύτερης κλάσης της τομής. Κατ' αυτόν τον τρόπο και οι ρητοί αριθμοί νοούνται ως τομές των ρητών αριθμών δηλαδή ως πραγματικοί αριθμοί, και το σύνολο των ρητών αριθμών γίνεται γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Ακριβέστερα δημιουργείται ένα γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών ισόμορφο όπως αργότερα θα δείξουμε, προς το σύνολο των ρητών αριθμών.
Επισημαίνω εδώ ότι δεν μπορεί να υπάρχουν 
και ένας πραγματικός ρητός ή άρρητος αριθμός στην κλάση Ι έστω ο Α, που θα είναι μεγαλύτερος  από όλους τους αριθμούς της πρώτης κλάσης 
και ένας διαφορετικός πραγματικός αριθμός στην κλάση ΙΙ έστω ο Β ≠ Α που θα είναι μικρότερος από όλους τους αριθμούς της δεύτερης κλάσης.
Γιατί αν  υπήρχαν τότε,
θα ήταν Α < Β   Και οι ρητοί που  βρίσκονται μεταξύ του Α και του Β δεν θα ανήκαν σε καμιά από τις δύο κλάσεις και αυτό αντίκειται στο ότι οι δύο κλάσεις περιλαμβάνουν (οι δύο μαζί), όλους τους ρητούς αριθμούς,

Πρέπει να πούμε ότι για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε μια τομή ρητών αριθμών πρέπει να δείξουμε ότι:
α. Οι δύο κλάσεις της τομής είναι σύνολα ρητών αριθμών και δεν είναι κενές.
β. Κάθε αριθμός της πρώτης κλάσης είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της δεύτερης κλάσης.
γ. Η κλάση Ι δεν έχει μέγιστο στοιχείο.
δ. Οι δύο κλάσεις μαζί περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς αριθμούς


Οι δύο κλάσεις έχουν και άλλες ενδιαφέρουσες ιδιότητες που θα τις χρησιμοποιήσουμε.  Αναφέρω
- Αν ο ρητός χ ανήκει στην πρώτη κλάση μιας τομής, τότε κάθε ρητός μικρότερος του χ ανήκει επίσης στην πρώτη κλάση αυτής της τομής. Η απόδειξη αντλείται αμέσως από το β. και το δ.
Η πρόταση αυτή συνεπάγεται ότι
-Η πρώτη κλάση μια;ς τομής δεν έχει ελάχιστο στοιχείο 
Επίσης το γ. μας εξασφαλίζει ότι
- στην κλάση Ι μιας τομής  υπάρχουν ρητοί μεγαλύτεροι από τον τυχαίο αριθμό χ που ανήκει σε αυτήν την κλάση
Ανάλογες προτάσεις ισχύουν και για την κλάση ΙΙ κάθε τομής
- Αν ο ρητός χ ανήκει στην κλάση ΙΙ μιας τομής, τότε κάθε ρητός μεγαλύτερος του χ ανήκει επίσης στην κλάση ΙΙ αυτής της τομής΄.
- Η κλάση ΙΙ μιας τομής δεν έχει μέγιστο στοιχείο
- Αν η δεύτερη κλάση δεν περιέχει αριθμό μικρότερο από όλους τους υπόλοιπους τότε περιέχει ρητούς μικρότερους από κάθε  αριθμό  που ανήκει σε αυτήν
- Αν η δεύτερη κλάση περιέχει έναν  αριθμό α, μικρότερο από όλους τους άλλους αριθμούς της κλάσης, τότε περιέχει αριθμούς μικρότερους από τον οποιοδήποτε χ  (χ διάφορος του α)  ανήκει σε αυτήν.
Μια ακόμη ιδιότητα των τομών είναι ότι
-Οι δύο κλάσεις μιας τομής δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Αντλείται αμέσως από το β.
Πάντως  για να αποτελεί τομή μια διαίρεση των ρητών σε δύο κλάσεις  πρέπει και αρκεί να εξασφαλίζεται ότι ισχύουν  οι παραπάνω α. , β. , γ. , δ.  προτάσεις

Αργότερα θα μιλήσουμε και για τομές πραγματικών αριθμών. Ισχύουν  και για αυτές όλα τα παραπάνω κατάλληλα τροποποιημένα.
Πρέπει να παρατηρήσουμε ακόμη ότι σε κάθε τομή μπορούμε να βρούμε άπειρα ζεύγη που αποτελούνται από έναν αριθμό της πρώτης κλάσης και έναν αριθμό της δεύτερης,  που όπως θα δούμε διαφέρουν μεταξύ τους κατά έναν αριθμό μικρότερο από οποιοδήποτε θετικό αριθμό.
Αυτά σημαίνουν ότι οι δύο κλάσεις "συναντιούνται" στον αριθμό που η τομή καθορίζει. Και αυτός ο αριθμός είναι απείρως κοντά στο "άνω άκρο" της πρώτης κλάσης χωρίς να ανήκει σ' αυτήν και
ή είναι «απείρως κοντά» στο "κάτω άκρο" της δεύτερης κλάσης
ή είναι το κάτω άκρο της δεύτερης κλάσης εφ' όσον η δεύτερη κλάση έχει πρώτο στοιχείο. (δηλαδή σε τομές δεύτερου είδους)


7.3 Τομές ρητών αριθμών και ρητές προσεγγίσεις των πραγματικών αριθμών


Ο ορισμός των πραγματικών  αριθμών που δώσαμε επιτρέπει μια άμεση σύγκριση μεταξύ ενός ρητού και ενός άρρητου αριθμού. Αν ο ρητός ανήκει στην πρώτη κλάση της τομής που ορίζει τον άρρητο τότε είναι μικρότερος του αρρήτου, αν ανήκει στη δεύτερη κλάση τότε είναι μεγαλύτερος του αρρήτου.
Επιτρέπει όμως και σύγκριση δύο οποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών
Δύο πραγματικοί αριθμοί ορίστηκε να είναι ίσοι όταν οι τομές μέσω των οποίων ορίζονται έχουν τις ίδιες πρώτες κλάσεις. Ένας πραγματικός αριθμός  
α  ορίστηκε να είναι  μικρότερος ενός πραγματικού αριθμού β όταν η πρώτη κλάση  της τομής που ορίζει τον α είναι γνήσιο υποσύνολο της πρώτης κλάσης της τομής που ορίζει τον β.  Σημειώνω  ότι τα όσα είπαμε συνεπάγονται  τα εξής.

1. Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών Α Β, ισχύει ακριβώς μία από τις σχέσεις
Α > Β,        Α = Β,        Α < Β.

2. Αν  Α < Β    και     Β < Γ    τότε    Α < Γ

3.Μεταξύ δύο άνισων πραγματικών αριθμών υπάρχουν πάντοτε άπειροι ρητοί αριθμοί
4.Δύο πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι όταν  δεν υπάρχουν μεταξύ τους ρητοί αριθμοί 
5. Από κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχουν μεγαλύτεροι του φυσικοί αριθμοί ή αλλιώς
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αρχιμήδειο
6. Καθε πραγματικός αριθμός μπορεί να προσεγγιστεί μέσω ρητών αριθμών όσο θέλουμε. Ιδιαίτερη σημασία για την προσέγγιση έχουν τα δεκαδικά και τα δυαδικά αναπτύγματα των πραγματικών αριθμών

Οι  πέντε πρώτες  προτάσεις προκύπτουν άμεσα από τον τρόπο ορισμού των πραγματικών αριθμών.
Η πέμπτη (προτελευταία) μας δίνει άμεσα ότι
- Κάθε θετικός αριθμός  πολλαπλασιαζόμενος με κατάλληλα μεγάλο θετικό ακέραιο αριθμό υπερβαίνει τον οποιοδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό.
Η πρόταση αυτή είναι απλούστατο να δειχθεί ότι ισχύει στους ρητούς αριθμούς (ανάγεται στο ότι από κάθε ακέραιο θετικό αριθμό υπάρχει μεγαλύτερος ακέραιος θετικός αριθμός, για παράδειγμα ο επόμενός του). Είχε τεθεί όμως ως αξίωμα από τον Εύδοξο για τους αριθμούς του αρχαιοελληνικού αριθμητικού συστήματος που ταυτίζονται με τους πραγματικούς θετικούς αριθμούς ρητούς και άρρητους, και είχε χρησιμοποιηθεί απανειλημμένα από τον Αρχιμήδη. Για αυτό ονομάζεται αξίωμα του Ευδόξου  και  Αρχιμήδεια ιδιότητα.
Ας τη δείξουμε.
Έστω ε ένας οποιοσδήποτε και επομένως και οσοδήποτε μικρός θετικός πραγματικός αριθμός και Μ οποιοσδήποτε και επομένως και οσοδήποτε μεγάλος πραγματικός θετικός αριθμός. Κατά την παραπάνω πέμπτη πρόταση, υπάρχει θετικός ακέραιος Ν,   με     Ν > Μ/ε. Προφανώς για αυτόν τον Ν και τους μεγαλύτερούς του ισχύει
Ν.ε  > Μ.
.
Και την  τελευταία (έκτη) πρόταση  θα τη δείξουμε αμέσως τώρα.
Έστω χ ένας ρητός αριθμός της πρώτης κλάσης μιας τομής ρητών αριθμών η οποία ορίζει τον πραγματικό αριθμό β,  ψ ένας ρητός αριθμός της δεύτερης κλάσης του β και ρ ένας ρητός θετικός αριθμός οσοδήποτε μικρός. Ισχύει

χ < β < ψ     
  
Θεωρούμε τους αριθμούς 

χ,   χ+ρ,   χ+2.ρ,   χ+3.ρ  .......  χ+ν.ρ,   χ+(ν+1).ρ + .............

Επειδή οι ρητοί αποτελούν αρχιμήδειο σώμα, για κατάλληλα μεγάλο ν είναι

 χ + ν.ρ >   ψ  και επομένως

ο ρητός αριθμός (χ + ν.ρ)  θα ανήκει στην κλάση ΙΙ του β.

Από εδώ προκύπτει ότι υπάρχει ένας θετικός ακέραιος αριθμός κ τέτοιος ώστε
-ο ρητός αριθμός  χ + (κ-1).ρ  να  ανήκει στην κλάση Ι του β και να είναι μικρότερος του β
 ο ρητός αριθμός   χ + κ.ρ  να  ανήκει στην κλάση ΙΙ του β και να είναι μεγαλύτερος ή ίσος του β
Αυτό σημαίνει ότι 
ο οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός  β μπορεί να προσεγγιστεί είτε κατ' ελλειψιν είτε  καθ' υπεροχήν από ρητούς αριθμούς, με σφάλμα μικρότερο του οποιουδήποτε και επομένως οσοδήποτε μικρού θετικού ρητού αριθμού  ρ .
Για τις προσεγγίσεις αυτές μπορεί να χρησιμοποιηθούν απλά κλάσματα, συνεχή κλάσματα, δεκαδικά αναπτύγματα, ανάπτυξη σε συγκλίνουσες σειρές, επεξεργασία με εργαλεία του προχωρημένου λογισμού και χρήση της διαθέσιμης κάθε εποχή τεχνολογίας.

Αν τώρα πάρουμε  για τον χ της κλάσης Ι του β έναν ακέραιο αριθμό  και   ρ = 1 καταλήγουμε ότι  για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό β υπάρχει ακριβώς ένας ακέραιος  έστω ο Α για τον  οποίο ισχύει

Α ≤  χ < Α+1   

Τον ακέραιο Α τον ονομάζουμε ακέραιο μέρος του χ. Τη συνάρτηση που ισούται για κάθε πραγματικό αριθμό χ  με το ακέραιο μέρος του χ τη συμβολίζουμε Ακ(χ)  ή  [ χ ] .  Κάποιες από τις ιδιότητες και κάποιες χρήσεις αυτής της συνάρτησης αναφέρονται στο κείμενο  επόμενου τίτλου αυτής της ανάρτησης.

Έστω χ πραγματικός που ορίζεται μέσω μιας τομής όλων των συμμέτρων ή αλλιώς ρητών αριθμών και      Α = Ακ (χ).        Έχω  
Α ≤  χ < Α+1     και  αν ο χ δεν είναι ακέραιος θα έχουμε
Α < χ < Α+1 και επομένως 
ο Α ανήκει στην κλάση Ι της τομής όλων των ρητών αριθμών που ορίζει τον χ, ενώ 
ο Α+1 ανήκει στην κλάση ΙΙ της ίδιας τομής
Διαιρούμε τώρα το διάστημα (Α, Α+1) σε 10 ίσα διαδοχικά ημιανοικτά διαστήματα με άκρα τους ρητούς Α, (Α+1/10), (Α + 2/10), ........ , (Α + 9/10), (Α+1). 
Τα διαστήματα που ορίζονται περιλαμβάνουν όλα (εκτός το πρώτο), το αριστερό τους άκρο αλλά όχι το δεξιό..
Έστω  Α + (κ+1)/10 με κ ακέραιο μεταξύ 0 και 9 είναι ο μικρότερος από αυτούς τους ρητούς που ανήκει στην κλάση ΙΙ του χ. Θα έχω 
Α+κ/10  ανήκει στην κλάση Ι 
Α+(κ+1)10 ανήκει στην κλάση ΙΙ και επομένως
Α,κ1 ≤  χ < < Α,κ1 + 1 /10 )
Χωρίζοντας  το ημιανοικτό εν γένει διάστημα Α,κ  έως  Α,κ + 1/10 σε 10 ίσα διαδοχικά διαστήματα θα βρώ τον χ  μεταξύ δύο αριθμών που διαφέρουν κατά 1/100. Συγκεκριμένα θα βρώ


Α, κ1 κ2  ≤  χ  < (Α, κ1 κ2 + 1 /102 )
και συνεχίζοντας μπορώ να φτάσω σε μια σχέση της μορφής
Α, κ1 κ2 κ3 .....κν   ≤  χ  < (Α, κ1 κ2 κ3 ...... κν + 1 /10ν )
Ο αριθμός  χ1 = Α, κ1 κ2 κ3 .....κν   αποτελεί μια ρητή και κατ' έλλειψιν προσέγγιση του χ με σφάλμα μικρότερο του 1 /10ν .
Ο αριθμός   χ2 = (Α, κ1 κ2 κ3 .....κν   + 1 /10ν ) αποτελεί μια ρητή και καθ' υπεροχήν  προσέγγιση του χ με σφάλμα μικρότερο του 1 /10ν .
Τα μετά την υποδιαστολή ψηφία είναι ακέραιοι αριθμοί από το 0 (μηδέν) έως το 9

Αν κάθε διάστημα στο οποίο προσδιορίζαμε κάθε φορά τον χ το διαιρούσουμε σε 5 ίσα τμήματα θα βρίσκαμε ρητές προσεγγίσεις του χ με σφάλμα μικρότερο του 1 /5ν και τα  μετά την υποδιαστολή ψηφία θα ήταν ακέραιοι αριθμοί από το 0 (μηδέν) έως το 4.

Αν κάθε διάστημα στο οποίο προσδιορίζαμε τον χ το διαιρούσουμε σε 2 ίσα τμήματα θα βρίσκαμε ρητές προσεγγίσεις του χ με σφάλμα μικρότερο του 1 /2ν    και τα  μετά την υποδιαστολή ψηφία θα ήταν ακέραιοι αριθμοί από το 0 (μηδέν) έως το 1.

Αν κάθε διάστημα στο οποίο προσδιορίζαμε τον χ το διαιρούσουμε σε 16 ίσα τμήματα θα βρίσκαμε ρητές προσεγγίσεις του χ με σφάλμα μικρότερο του 1 /16ν και τα  μετά την υποδιαστολή ψηφία θα παρίσταναν ακέραιους αριθμούς από το 0 (μηδέν) έως το 15.  Θα χρειαζόμαστε και 6 νέα σύμβολα.


Αν ο χ είναι ρητός αριθμός τότε σε όλες αυτές και στις ανάλογες περιπτώσεις, μετά από κάποιο ψηφίο μετά την υποδιαστολή θα επαναλαμβάνεται συνεχώς μια πεπερασμένη και σταθερά διατεταγμένη ομάδα ψηφίων .  (Ως περίοδος μπορεί να εμφανισθεί και ο αριθμός 0).
Αν ο χ είναι άρρητος τότε δεν εμφανίζεται καμιά περιοδικότητα. Προβλέπεται μόνο το ισόσυχνο της εμφάνισης όλων των χρησιμοποιουμένων ψηφίων στο πλήρες δεκαδικό ή δυαδικό ή νι-αδικό γενικά ανάπτυγμα των αρρήτων αριθμών.  Σχεδόν όλοι οι  άρρητοι αριθμοί είναι κανονικοί  με αυτήν ακριβώς την έννοια. Την πρόταση αυτή ίσως την αποδείξω.

Αν τώρα διαιρέσουμε το τμήμα [Α, Α+1) σε δύο τμήματα, το επόμενο και μικρότερο τμήμα σε 3 ίσα μέρη , το επόμενο σε 4 ίσα μέρη και γενικώς το νιοστό σε ν ίσα μέρη και έτσι επ' άπειρον,  θα έχουμε

Α + α1  /2! + α2 / 3! + α3 / 4! + .... + αν / (ν+1)!  <  χ   <

< Α + α1  /2! + α2 / 3! + α3 / 4! + .... + αν / (ν+1)! + 1 /(ν+1)! 

όπου ο α1  είναι ακέραιος από το 0 έως το 1 και ο  ακ  είναι κάποιος ακέραιος από 0 έως κ.
Το πρώτο μέλος της ανισότητας είναι ρητή και κατ' ελλειψιν προσέγγιιση του χ με σφάλμα μικρότερο του  1 / (ν+1)! όπου ο α
1  είναι ακέραιος από το 0 έως το 1 και ο  ακ  είναι κάποιος ακέραιος από 0 έως κ.
Το δεύτερο μέλος της ανισότητας είναι ρητή και καθ' υπεροχήνν προσέγγιιση του χ με σφάλμα μικρότερο του  1 / (ν+1)! 
Δεν φαίνεται να έχει η όποια περιοδικότητα των συντελεστών αυτού του αναπτύγματος οποιαδήποτε σχέση με το ρητό ή το άρρητο, με την αλγεβρικότητα  ή την υπερβατικότητα του πλήρους αναπτύγματος. Θυμίζω ότι ο αριθμός
e = 2 + 1 /2! + 1/ 3! + 1/ 4! + .... + 1 / (ν+1)! + ......
έχει μονοψήφια περίοδο που αρχίζει αμέσως μετά το ακέραιο μέρος του και είναι άρρητος  και υπερβατικός  αριθμός.
Για Ν > 30 είναι      Ν!  >  10Ν  
όταν το Ν τείνει στο άπειρο ο λόγος   10Ν / Ν!  τείνει στο 0 (μηδέν).

Πριν συνεχίσουμε πρέπει να  πω ότι σήμερα ως πραγματικοί αριθμοί θεωρούνται οι πρώτες κλάσεις των τομών και αυτό νομίζω γιατί θέλουν κάθε τι, και επομένως και κάθε πραγματικός αριθμός, να ορίζεται ως σύνολο.
Δεν θα το ακολουθήσω αν και η πρώτη κλάση  μιας τομής καθορίζει την τομή.  Στη διαπραγμάτευση των σχετικών θεμάτων εδώ,  ως πραγματικοί αριθμοί νοούνται  οι τομές των ρητών αριθμών που τους ορίζουν. Και αυτός ο τρόπος παρουσίασης είναι κατά την κρίση μου φυσικότερος.

Στη συνέχεια :
Tο σύνολο όλων των ρητών αριθμών θα το συμβολίζω Q, 
Tο σύνολο όλων των τομών ρητών αριθμών δηλαδή το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, θα το συμβολίζω F.
Στις τομές ρητών αριθμών δευτέρου είδους, το ρητό αριθμό που ορίζεται ως πραγματικός ρητός αριθμός μέσω της τομής και είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης ΙΙ της τομής, θα τον τοποθετώ ως πρώτο αριθμό της κλάσης ΙΙ.

Παραδείγματα τομών ρητών αριθμών και των δύο ειδών έχουμε δώσει. Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε  στον ορισμό των πράξεων στο σύνολο F των πραγματικών αριθμών και στην απόδειξη του ότι οι πραγματικοί αποτελούν ένα πλήρες και διατεταγμένο σώμα.





7.4  Πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών - Πρόσθεση



Αν α, β είναι  δύο πραγματικοί αριθμοί, Ι(α), Ι(β) είναι οι πρώτες  κλάσεις των τομών που τους ορίζουν και ΙΙ(α), ΙΙ(β) οι δεύτερες κλάσεις αυτών των τομών.  Σχηματίζουμε  μια νέα τομή των ρητών αριθμών που την ορίζουμε ως άθροισμα (α+β) των πραγματικών  α, β  ως εξής.
Η  Ι(α+β) [πρώτη κλάση της τομής του αθροίσματος],  αποτελείται από όλους τους ρητούς αριθμούς που μπορεί να προκύψουν ως άθροισμα ενός (ρητού) αριθμού της Ι(α) και ενός της Ι(β) και φυσικά περιλαμβάνει ως πρώτη κλάση κάθε ρητό αριθμό που είναι μικρότερος  από κάποιο στοιχείο της.
Η ΙΙ(α+β) αποτελείται από όλους τους υπόλοιπους ρητούς αριθμούς  δηλαδή ΙΙ(α+β) =  Q-I(α+β).
Επομένως κάθε αριθμός της κλάσης ΙΙ(α+β) είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της Ι(α+β) αφού οι αριθμοί που περιλάμβάνει δεν είναι μικρότεροι από κάποιον αριθμό της κλάσης Ι, ούτε ίσοι με  κάποιον αριθμό της κλάσης Ι, και δεν είναι κενή αφού περιλαμβάνει και όλους τους αριθμούς που μπορεί να προύψουν ως άθροισμα ένός αριθμού της ΙΙ(α) και ενός αριθμού της ΙΙ(β) και όλους τους μεγαλύτερους τους.
Έτσι:
α. Οι δύο κλάσεις είναι σύνολα ρητών αριθμών και δεν είναι κενές
β. Κάθε  αριθμός της κλάσης ΙΙ είναι μεγαλύτερος από κάθε αριθμό της κλάσης Ι
γ .Η πρώτη κλάση δεν έχει μέγιστο στοιχείο
δ. Οι δύο κλάσεις περιλαμβάνουν οι δύο μαζί όλους τους ρητούς αριθμούς.

Το εδάφιο α. είναι αυταπόδεικτο
Το β. αποδεικνύεται εύκολα ( ουσιαστικά το δείξαμε) και εξασφαλίζει και ότι οι δύο κλάσεις δεν έχουν κοινά στοιχεία
Το γ. αποδεικνύεται εύκολα αλλά θα πούμε το πώς για παράδειγμα.
Το δ. είναι αυταπόδεικτο.
Αποδεικνύω το γ.
Αν ο ρητός χ ανήκει στην Ι(α+β) έχω  χ = ψ+ζ  με τον ψ   να ανήκει στην Ι(α)  και το ζ στην Ι(β).
Από τον ψ υπάρχουν στη Ι(α) μεγαλύτεροι ρητοί αριθμοί και έστω  ψ΄ ένας από αυτούς.
Είναι ψ΄> ψ
Για τους ίδιους λόγους υπάρχει στην Ι(β)  ρητός ζ΄> ζ
Επομένως υπάρχει στην Ι(α+β) ο ρητός    χ΄= ψ΄+ ζ΄ > ψ + ζ = χ
και επομένως ο τυχών χ της Ι(α+β) δεν μπορεί να είναι μέγιστο στοιχείο της.

Συμπέρασμα: Η τομή   Ι(α+β) , ΙΙ(α+β) ορίζει  έναν πραγματικό αριθμός μεγαλύτερο από όλους τους αριθμούς της Ι(α+β) και μικρότερο από όλους τους αριθμούς της ΙΙ(α+β). Τον αριθμό αυτό τον ορίζουμε ως το άθρισμα των πραγματικών αριθμών α, β και τον συμβολίζουμε (α+β)


Ιδιότητες της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών

Η πράξη της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική.
Ισχύει δηλαδή για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς  α, β, δ ότι
α + (β+δ) = (α+β) +  δ (προσεταιριστικότητα της πρόσθεσης)
και για τους όποιους πραγματικούς χ, ψ ότι
χ+ψ = ψ+χ

Η απόδειξη  είναι άμεση. Η πρόσθεση πραγματικών αριθμών είναι προσεταιριστική  και αντιμεταθετική γιατί πραγματοποιείται  μέσω προσθέσεων ρητών αριθμών  μέσα στις δύο κλάσεις της τομής του ορίζει το άθροισμα, και η πρόσθεση ρητών αριθμών είναι πράξη προσεταιριστική και αντιμεταθετική.

Το σώμα των πραγματικών αριθμών κατασκευάζεται από το σώμα των ρητών αριθμών και η απόδειξη των ιδιοτήτων τους ανάγεται σε σχετικές ιδιότητες των ρητών αριθμών.
Να προσθέσω εδώ ότι και οι παραπάνω δύο ιδιότητες και οι περισσότερες ιδιότητες των πραγματικών αριθμών ανάγονται σε σχετικές ιδιότητες των ρητών αριθμών που με τη σειρά τους ανάγονται τελικά σε σχετικές ιδιότητες  των φυσικών αριθμών.


 Το μηδέν των πραγματικών αριθμών αριθμών 

Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο για την πράξη της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών.
Δηλαδή υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός  έστω ο 
μ τέτοιος ώστε να ισχύει
α+
μ = α για κάθε πραγματικό αριθμό α.

Στους ρητούς υπήρχε ο ρητός αριθμός 
0 (μηδέν). Πρέπει να ορίσουμε τον πραγματικό αριθμό μηδέν ως τομή των ρητών αριθμών. Θυμηθείτε την τελευταία παράγραφο του 9.2
«  Οι δύο κλάσεις μιας τομής ρητών αριθμών "συναντιούνται" στον πραγματικό αριθμό που η τομή καθορίζει. Και αυτός ο αριθμός είναι απείρως κοντά στο άνω άκρο της πρώτης κλάσης χωρίς να ανήκει σ' αυτήν και
ή είναι απείρως κοντά στο κάτω άκρο της δεύτερης κλάσης
ή είναι το κάτω άκρο της δεύτερης κλάσης εφ' όσον η δεύτερη κλάση έχει πρώτο στοιχείο»

Θέτουμε επομένως στην πρώτη κλάση του πραγματικού αριθμού "μηδέν" όλους του αρνητικούς ρητούς αριθμούς και στη δεύτερη κλάση το ρητό 
0 (μηδέν) και όλους τους θετικούς ρητούς.
Προφανώς έχουμε μια τομή (ελέγξτε το), δηλαδή έναν πραγματικό αριθμό. Θα αποδείξουμε ότι αποτελεί ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. Τον συμβολίζουμε προσωρινά 
μ. Πρέπει να αποδείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει
α + 
μ = α
Αρκεί να δείξουμε ότι ο α + 
μ   και ο  α  έχουν τις ίδιες πρώτες κλάσεις.
Έστω χ ένας αριθμός της Ι(α)
και ψ ένας αριθμός της Ι(
μ). ΄
Αν ζ = χ+ψ, ο ζ είναι αριθμός της Ι(α+
μ)
Αφού ο ψ  είναι αρνητικός, ο   ζ= χ + ψ    είναι μικρότερος του χ και αφού ο χ ανήκει στην Ι(α), στην κλάση Ι(α) ανήκει και ο ζ.
Δηλαδή 
κάθε αριθμός της πρώτης κλάσης του   α+μ   ανήκει και στην πρώτη κλάση του α.
Εξ άλλου υπάρχει στην Ι(α)  αριθμός    χ΄ > χ , γιατί διαφορετικά ο χ θα ήταν μέγιστο στοιχείο της Ι(α) και αυτό είναι άτοπο. Επομένως
χ = χ΄+ (χ-χ΄)
και ό αριθμός χ΄ είναι αριθμός της Ι(α) ενώ ο αριθμός (χ-χ΄) είναι αρνητικός ρητός και επομένως είναι αριθμός της  Ι(μ).  Αυτό σημαίνει ότι 
ο τυχών χ της Ι(α) είναι αριθμός και της Ι(α+μ) ως άθροισμα ενός αριθμού της Ι(α) και ενός αριθμού της Ι(μ)
ΟΙ δύο υπογραμμισμένες προτάσεις συνεπάγονται ότι οι πρώτες  κλάσεις του α+
μ   και του α είναι ίδιες και επομένως
α+
μ = α

Δείξαμε ότι θέλαμε. Οι αποδείξεις είναι απλές αλλά κουραστικές. Θα παραλείπονται σε αρκετές περιπτώσεις. Πάντως είναι ευκολότερο να αποδείξετε κάτι από αυτά μόνοι σας από το να παρακολουθήσετε τη σχετική απόδειξη. Εδώ δείξαμε ότι ο 
μ είναι πραγματικός αριθμός και αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών.Στο εξής θα τον συμβολίζουμε 0.


Ο πραγματικός αριθμός ο αντίθετος ενός πραγματικού αριθμού α

Αν  α  είναι ένας πραγματικός αριθμός και Ι(α) , ΙΙ(α) είναι οι δύο κλάσεις της τομής των ρητών που τον ορίζει διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

1. Όταν δεν υπάρχει ρητός αριθμός μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της Ι(α) και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της ΙΙ(α).
Στην περίπτωση αυτή σχηματίζουμε έναν πραγματικό αριθμό α΄ ως εξής.
Η    Ι(α΄)  να αποτελείται από τους όλους τους ρητούς αριθμούς τους αντίθετους προς έναν αριθμό της κλάσης ΙΙ(α) και
Η    ΙΙ(α΄)  να αποτελείται από τους όλους τους ρητούς αριθμούς τους αντίθετους προς έναν αριθμό της κλάσης Ι(α)
Σχημάτισα έτσι μια νέα τομή ρητών αριθμών (ελέγξτε το) δηλαδή έναν πραγματικό αριθμό τον α΄.
 Λέω ότι

 α+α΄= 0

Πρόκειται για μια πρόσθεση δύο πραγματικών αριθμών και το 0 στο δεύτερο μέλος παριστά τον πραγματικό αριθμό 0. Ας  δούμε το γιατί ισχύει.
Αν χ είναι ένας (ρητός) αριθμός της Ι(α) και ψ ένας αριθμός της  ΙΙ(α) φυσικά και αυτός ρητός, τότε θα είναι:
χ < ψ    και     χ-ψ  < 0 [Ο (χ-ψ) είναι διαφορά δύο ρητών αριθμών]
  Ο (χ-ψ) = χ+(-ψ)    θα είναι ένας αριθμός της κλάσης Ι(α+α΄)  αφού ο χ ανήκει στην Ι(α)  και ο (-ψ) ανήκει στην Ι(α΄)
- Η Ι(α+α΄) περιλαμβάνει όλους αυτούς τους αριθμούς και τους μικρότερούς τους και επομένως αποτελείται από όλους τους αρνητικούς αριθμούς
- Ο (ψ-χ) > 0 θα είναι ένας αριθμός της κλάσης ΙΙ (α+α΄). Η κλάση αυτή που θα αποτελείται από όλους τους θετικούς ρητούς αριθμούς. Οι δύο κλάσεις περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς αριθμούς
εκτός τον ρητό αριθμό 0 (μηδέν)
που είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της Ι(α+α΄) και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της  ΙΙ(α+α΄). Τον τοποθετούμε ως πρώτο αριθμό της κλάσης ΙΙ(α+α΄) και έτσι η τομή γίνεται τομή δευτέρου είδους που ορίζει τον πραγματικό αριθμό 0 (μηδέν).  Έτσι είχαμε ορίσει τους ρητούς ως πραγματικούς αριθμούς. Είχαμε πει ότι για να  ορίσουμε έναν ρητό αριθμό ως πραγματικό,τον θέτουμε ως πρώτο αριθμό της δεύτερης κλάσης της τομής που ορίζει αυτόν τον ρητό ως πραγματικό αριθμό. Έτσι οι δύο κλάσεις αυτής της τομής περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς αριθμούς.
Επομένως  στην περίπτωση αυτή  έχουμε α+ α΄= 0

2. Όταν υπάρχει ρητός αριθμός στην κλάση ΙΙ(α) που είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι(α) και μικρότερος από όλους τους άλλους αριθμούς της κλάσης ΙΙ(α).
Στην περίπτωση αυτή σχηματίζουμε έναν πραγματικό αριθμό α΄ ως εξής.
Η    Ι(α΄)  να αποτελείται από  όλους τους ρητούς αριθμούς τους αντίθετους προς τους αριθμούς της κλάσης ΙΙ(α) αλλά δεν περιλαμβάνει τον αντίθετο του ελάχιστου αριθμού της ΙΙ(α)   
Η    ΙΙ(α΄)  να αποτελείται από τους όλους τους ρητούς αριθμούς τους αντίθετους προς τους αριθμούς της κλάσης Ι(α)  και από τον αντίθετο του ελάχιστου αριθμού της ΙΙ(α)
Σχημάτισα έτσι μια νέα τομή ρητών αριθμών (ελέγξτε το) δηλαδή έναν πραγματικό αριθμό τον α΄. Λέω ότι  α+α΄= 0
Εύκολα θα δείτε ότι ισχύουν όσα ανέφερα και στην περίπτωση 1.
Έχουμε πάλι   α+α΄= 0

Ο αριθμός α΄  ονομάζεται αντίθετος του α     και συμβολίζεται -α.
Ισχύει επομένως ότι α + (-α) = 0 για κάθε πραγματικό αριθμό α.
Ισχύει ότι ότι    -(-α) = α
Και αυτό προκύπτει από τον τρόπο κατασκευής του αριθμού του αντίθετου ενός δεδομένου αριθμού.
Δηλαδή ο αντίθετος  του (-α) είναι ο α. Λέμε ότι οι δύο αυτοί αριθμοί είναι μεταξύ τους αντίθετοι.
Από τον ορισμό του αντίθέτου προκυπτει αμέσως και ότι ο 0 είναι αντίθετος του εαυτού του, δηλαδή ισχύει
(-0) = 0          και        0+0 = 0+(-0) = 0
Για δύο πραγματικούς αριθμούς α, β το άθροισμα  [α + (-β)]  το γράφουμε (α - β) και το ονομάζουμε 
διαφορά του β από τον α  ή  διαφορά  α μείον β
Είναι:
 - ( α+β) = (-α) +(-β)  αφού   (α+β) + (-α)  + (-β) = 0
- (α-β) = - [α + (-β)] =  (-α) + [-(-β)]  = (-α) + β  = β+ (-α)  = (β-α)
Δείξαμε επομένως ότι
για την πράξη της πρόσθεσης υπάρχει ο συμμετρικός οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού α ως προς το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και τον συμβολίζουμε  -α. Ο συμμετρικός του 0 (μηδέν) είναι ο αριθμός 0. Ισχύει   -(-α) = α ,      α+ (-α) =0         [α+(-β)] = (α-β)  
-(α-β) = (β-α) 

Αυτά (
ύπαρξη του αριθμού του αντίθετου κάθε άριθμού)  και όσα αποδείξαμε πιο πάνω για την πρόσθεση πραγματικών αριθμών (αντιμεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα, ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου), συνεπάγονται αμέσως ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν αβελιανή ή αλλιώς αντιμεταθετική ομάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης

Θετικοί και αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί

Έχουμε πει ότι   αν α και β είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί, τότε
- Αν η Ι(α) είναι γνήσιο υποσύνολο της Ι(β)  θα είναι εξ ορισμού  α μικρότερο του  β  και γράφουμε α < β
- Αν  Ι(α) = Ι(β) θα είναι εξ ορισμού α = β
- Αν η Ι(β) είναι γνήσιο υποσύνολο της Ι(α) τότε θα είναι εξ ορισμού α μεγαλύτερο του β  και γράφουμε  α > β
Η σχέση ορίσθηκε κατά τρόπο που την κάνει συμβατή τη διάταξη των ρητών αριθμών όπως την ξέραμε με τη διάταξη του συνόλου των  ρητών νοουμένου ως υποσυνόλου των πραγματικών αριθμών. Αυτό  επιτρέπει σχέση ισομορφίας μεταξύ του σώματος Q των ρητών αριθμών και του συνόλου των πραγματικών ρητών αριθμών


Από τα παραπάνω προκύπτει αμέσως ότι
1.   α > β   σημαίνει   β < α    και αντιστρόφως
2.   Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών α, β ισχύει ακριβώς μία από τις σχέσεις
      α > β ,        α < β ,       α = β

Εφαρμόζοντας το δεύτερο για β = 0  βρίσκουμε ότι αν α είναι ένας πραγματικός αριθμός  ίσχύει  ακριβώς μία από τις σχέσεις
      α > 0 ,        α < 0 ,       α = 0

Τους πραγματικούς αριθμούς τους μεγαλύτερους του 0  τους ορίζουμε ως  
θετικούς πραγματικούς αριθμούς και το σύνολό τους το ονομάζουμε σύνολο θετικών αριθμών και θα το συμβολίζουμε P.
Τους πραγματικούς αριθμούς τους μικρότερους του 0  τους ορίζουμε ως  
αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς
Αν ο α είναι πραγματικός τότε θα ισχύει μιά ακριβώςαπό τι τρεις προτάσεις
Ο α είναι θετικός (ανήκει στο P, είναι ισοδύναμη διατύπωση) 

α = 0
Ο -α είναι θετικός
Θα δούμε ακόμη ότι 
αν οι αν οι πραγματικοί αριθμοί α, β είναι θετικοί τότε θετικός αριθμός θα είναι και το άθροισμά τους (α+β) και θετικός αριθμός θα είναι και το γινόμενό τους (α.β) όπως θα το ορίσουμε.
Οι υπογεγραμμένες προτάσεις της τελευταίας παραγράφου σημαίνουν ότι αν οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν σώμα θα αποτελούν διατεταγμένο σώμα και μπορούμε να ορίσουμε ανισοτικές σχέσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών που θα έχουν όλες τις ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων μεταξύ ρητών αριθμών.
  Συνεχίζουμε. Αν α είναι ένας
 θετικός πραγματικός αριθμός τότε ισχύει  α > 0 . Επειδη η κλάση  Ι(0)  περιλαμβάνει όλους τους αρνητικούς αριθμούς η κλάση Ι(α)  θα περιλαμβάνει όλους τους αρνητικούς ρητους αριθμούς , τον  ρητό μηδέν  και θετικούς ρητούς αριθμούς. Δεν μπορεί να περιέχει μόνο τους αρνητικούς ρητούς και και το μηδέν γιατί τότε θα είχε μέγιστο στοιχείο. Αυτό σημαίνει ότι   περιλαμβάνει όλους τους ρητούς τους μικρότερους από τον θετικό πραγματικό αριθμό  α  και μόνον αυτούς.
Η κλάση ΙΙ(α) αν ο α είναι θετικός πραγματικός 
ρητός αριθμός θα περιλαμβάνει ως έλάχιστο στοιχείο τον  θετικό ρητό  αριθμό α και θα περιέχει και όλους τους μεγαλύτερους του θετικούς ρητούς αριθμούς.
Αν ο α είναι πραγματικός 
μη ρητός αριθμός θα περιέχει μόνο τους θετικούς ρητούς αριθμούς τους μεγαλύτερους από τον πραγματικό μη ρητό αλλά θετικό πραγματικό αριθμό α.

Αν α = 0 τότε   Ι(α) = Ι(0)  και Ι(α) περιλαμβάνει όλους τους ρητούς αρνητικούς αριθμούς και μόνον αυτούς.
Η κλάση ΙΙ(α) θαπεριλαμβάνει  τον ρητό 0 (μηδέν) και όλους τους θετικούς ρητούς αριθμούς

Αν αριθμός  α  είναι ένας αρνητικός πραγματικός αριθμός τότε α < 0  και η κλάση Ι(α) ως γνήσιο υποσύνολο της κλάσης  Ι(0) θα περιέχει μόνο αρνητικούς ρητούς αριθμούς αλλά όχι όλους τους αρνητικούς ρητούς αριθμούς. Θα περιέχει τους ρητούς αρνητικούς αριθμούς τους μικρότερους από τον αρνητικό πραγματικό αριθμό α και μόνον αυτούς.
Η κλάση ΙΙ(α)  αν ο α είναι πραγματικός ρητός αριθμός θα περιλαμβάνει ως έλάχιστο στοιχείο τον  αρνητικό ρητό  αριθμό α και θα περιέχει και όλους τους μεγαλύτερους του  ρητούς αριθμούς. 
Αν ο α είναι πραγματικός μη ρητός αριθμός θα περιέχει μόνο τους  ρητούς αριθμούς τους μεγαλύτερους από τον πραγματικό μη ρητό αρνητικό αριθμό  α.
                
Πρέπει να επισημάνουμε ότι:
1. Αν ο α είναι πραγματικός θετικός αριθμός τότε ο  (-α) είναι πραγματικός αρνητικός αριθμός και αντιστρόφως. Αν δηλαδή  ο α είναι πραγματικός αρνητικός αριθμός τότε ο  (-α) είναι πραγματικός θετικός αριθμός. Αν  α = 0 τότε  α= -α = 0 .
2. 
Αν  ο  α  και ο β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τότε θετικός είναι και  ο  αριθμός (α+β),  και αν είναι άρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τότε αρνητικός είναι και ο (α+β).
Μπορείτε εύκολα να ελέγξετε το 1. και το 2. θεωρώντας τους  πραγματικούς    α, β   ως τομές ρητών αριθμών.
Η σημασία της υπογραμμισμένης φράσης έχει αναφερθεί.
 



Η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Η απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού χ  συμβολίζεται   | χ |  και ορίζεται ως εξής.
 | χ | =  χ      αν ο αριθμός  χ είναι θετικός ή 0
 | χ | = -χ      αν ο αριθμός  χ είναι αρνητικός

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι πάντοτε αριθμός θετικός ή ισος με το μηδέν όπως συνέβαινε και με τους ρητούς αριθμούς. Αν το ελέγξετε θα το βρείτε σωστό και θα έχετε δείξει ότι
| χ |  ≥  0

Για τους πραγματικούς αριθμούς  χ και ψ  ισχύει ότι

 | χ | - | ψ|  ≤   | χ +ψ |  ≤  | χ | + | ψ|           (1)


Το σύμβολο  ≤  διαβάζεται   
ίσο ή μικρότερο του   ή αλλιώς όχι μεγαλύτερο του
και η σχέση  α ≤  β  είναι άληθής είτε αν  είναι α < β είτε αν είναι α = β.
Για να δειχθεί  ότι είναι  α < β, είναι πρόσφορο σε κάποιες περιπτώσεις να δειχθεί
ότι είναι  α ≤ β     και δεν είναι α=β.
Το σύμβολο  ≥  διαβάζεται  είτε  
ίσο ή μεγαλύτερο του   είτε   όχι μικρότερο του. Ισχύουν καταλλήλως προσαρμοσμένα  όλα όσα αναφέραμε για το αντίστροφο σύμβολο.

Στην πρώτη ανίσωση της σχέσης  (1), το = ισχύει μόνον όταν
| χ | ≥ | ψ|  και  οι  χ,  ψ  δεν είναι
ούτε και οι δύο θετικοί, 
ούτε και οι δύο αρνητικοί.
Στη δεύτερη ανίσωση της σχέσης (1) το = ισχύει μόνον όταν
οι  χ , ψ είναι
είτε και οι δύο θετικοί,
είτε και οι δύο αρνητικοί,
είτε τουλάχιστον ο ένας είναι ίσος με μηδέν.  



 

7.5 Πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών - Πολλαπλασιασμός


Ας ξεκινήσουμε με το γινόμενο θετικών πραγματικών αριθμών.
Έστω
α πραγματικός 
θετικός αριθμός με Ι(α) και ΙΙ(α) τις δύο κλάσεις της τομής των ρητών αριθμών που ορίζει τον α και
β πραγματικός 
θετικός αριθμός με Ι(β) και ΙΙ(β) τις δύο κλάσεις της τομής των ρητών αριθμών που ορίζει τον β.
Σχηματίζουμε τον πραγματικό αριθμό (α.β) ως εξής.
Θέτουμε στην Ι(α.β) 
μόνο
κάθε ρητό αριθμό που προκύπτει ως γινόμενο ενός θετικού ρητού της Ι(α)και ενός θετικού ρητού αριθμού της Ι(β) (τα γινόμενα αυτά είναι μικρότερα του α.β), και κάθε μικρότερό του ρητό αριθμό
Θέτουμε  στην ΙΙ(α.β) όλους τους υπόλοιπους ρητούς αριθμούς.
Προφανώς στην ΙΙ(α.β) ανήκει για παράδειγμα κάθε αριθμός που προκύπτει ως γινόμενο ενός θετικού αριθμού της ΙΙ(α) και ενός θετικού αριθμού της ΙΙ(β) καθώς και κάθε μεγαλύτερός του ρητός αριθμός.
Με τον τρόπο αυτόν όλοι οι ρητοί αριθμοί οι μικρότεροι του (α.β) τοποθετουνται στην πρώτη κλάση του οριζόμενου γινομένου ενώ όλοι οι μεγαλύτεροί του τοποθετούνται στη δεύτερη κλάση. Το ίδιο το γινόμενο (α.β) τοποθετείται ως ελάχιστο στοιχείο της δεύτερης κλασης αν ισούται με  ρητό αριθμό. Έχουμε έτσι μια τομή όλων των ρητών αριθμών (ελέγξτε το), που ορίζει τον πραγματικό αριθμό (α.β)
Ιδιότητες
α) Η πράξη του πολλαπλασιασμού πραγματικών 
θετικών αριθμών είναι πράξη
αντιμεταθετική
προσεταιριστική
επιμεριστική ως προς την πρόσθεση
έχει ουδέτερο στοιχείο (τον πραγματικό αριθμό 1)


β) Το γινόμενο δύο 
θετικών πραγματικών αριθμών είναι θετικός πραγματικός αριθμός. Είναι ακόμη για α, β θετικούς  α.β = | α |.| β |
αφού στην περίπτωσή μας είναι
 | α | = α   και | β | = β 
Η αντιμεταθετικότητα είναι προφανής. Είτε α.β πάρουμε είτε β.α, τις ιδιες κλάσεις θα βρούμε αφού η αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών είναι δεδομένη.
Το ίδιο προφανής είναι και η προσεταιριστικότητα. Αν χ, ψ, ζ θετικοί ρητοί των πρώτων κλάσεων των θετικών πραγματικών α, β, γ τότε
ο (χ.ψ).ζ ανήκει στην κλάση Ι((α.β).γ) ανήκει όμως και στην κλάση Ι(α.(β.γ)) αφού για τους ρητούς χ, ψ, ζ     ισχύει
(χ.ψ).ζ = χ.(ψ.ζ)
Η απόδειξη της  επιμεριστικότητας του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση για πράξεις μεταξύ πραγματικών 
θετικών αριθμών απαιτεί κάποιο κόπο. Πρέπει να δειχθεί ότι
Ι(α.(β+γ)) = Ι(α.β+α.γ)
Κάθε ρητός Χ της Ι(α.(β+γ))  είναι  μικρότερος ή ίσος ενός αριθμού της μορφής χ(ψ+ζ), όπου χ θετικός ρητός της Ι(α),  ψ θετικός ρητός της Ι(β),  ζ θετρητός της Ι(γ).  
Επειδή είναι όμως για ρητούς χ,ψ,ζ 
χ.(ψ+ζ) = χ.ψ+χ.ζ
έπεται ότι ο αριθμός αυτός Χ είναι ρητός μικρότερος ή ίσος  του χψ+χζ  που είναι ρητός  της Ι(α.β+α.γ)  και επομένως ο Χ είναι αριθμός της Ι(α.β+α.γ)
Αντιστρόφως.
Κάθε ρητός Ψ της Ι(α.β+αγ) είναι μικρότερος ή ισος  ενός αριθμού της μορφής (χ΄.ψ + χ΄΄.ζ), όπου χ΄και χ΄΄ είναι θετικοί ρητοί της Ι(α) , ο ψ είναι θετικός ρητός της Ι(β) και ζ είναι θετικός ρητός της Ι(γ).
Αν είναι χ΄= χ΄΄ = χ  τότε ο Ψ  είναι μικρότερος ή ίσος του  χ.(ψ+ζ)  που ανήκει στην κλάση Ι(α.(β+γ)) και επομένως ο Ψ ανήκει και στην Ι(α.(β+γ))
Αν είναι  χ΄> χ΄΄  τότε ο  Ψ  είναι μικρότερος του χ΄.ψ + χ΄.ζ =  χ΄.(ψ+ζ)   και επομένως ανήκει πάλι  και στην Ι(α.(β+γ))
Αν είναι  χ΄ < χ΄΄   τότε ο  Ψ  είναι μικρότερος του χ΄΄.ψ + χ΄΄.ζ =  χ΄΄.(ψ+ζ)   και επομένως ανήκει πάλι  και στην Ι(α.(β+γ))


Εξ άλλου το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιαμού  πραγματικών θετικών αριθμών είναι ο πραγματικός ρητός αριθμός 1. Ας το δείξουμε.
Αν  χ τυχών θετικός ρητός της  κλάσης Ι(α) του θετικού πραγματικού  αριθμού α τότε θα υπάρχει στην Ι(α)  ρητός  χ΄ > χ
Αν ψ = χ / χ΄    τότε    0 < ψ < 1
και επομένως ο ψ  είναι θετικός ρητός της Ι(1)
άρα ο ρητός  χ΄. ψ  = χ΄. (χ / χ΄) = χ
ανήκει και στην Ι(α.1)
Αντιστρόφως αν  ζ είναι τυχών θετικός αριθμός της κλάσης Ι(α.1) τότε θα υπάρχουν χ θετικός ρητός της Ι(α) και ψ θετικός και μικρότερος του 1 ρητός αριθμός της κλάσης Ι(1) ούτως ώστε να είναι
είτε ζ = χ.ψ      είτε  ζ < χ.ψ
Και στις δύο περιπτώσεις θα είναι  ζ < χ
και επομένως ο ζ θα ανήκει και στην κλάση Ι (α)
Τέλος όλοι οι αρνητικοί ρητοί αριθμοί ανήκουν και στην  Ι(α) και στην Ι(α.1)
Αυτά σημαίνουν ότι οι κλάσεις Ι(α.1) και Ι (α) ταυτίζονται και επομένως
α.1 = α
για κάθε πραγματικό θετικό αριθμό α.

Το συμπέρασμα β) (το άθροισμα και το γινόμενο πραγματικών θετικών αριθμών είναι πραγματικός θετικός αριθμός), είναι επίσης προφανές από όσα έχουμε πει για το ποιοι είναι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και το πώς ορίζονται οι πράξεις.  Θα το χρησιμοποιήσουμε όταν μιλήσουμε για τη διάταξη του σώματος των πραγματικών αριθμών.

Συνεχίζουμε με 
το γινόμενο ενός θετικού  πραγματικού αριθμού α επί μηδέν
Αν   α > 0,  σχηματίζουμε το γινόμενο (α.0) ως τομή ρητών αριθμών. Τοποθετούμε στην κλάση Ι(α.0) κάθε ρητό που είναι ίσος ή μικρότερος του γινομένου ενός θετικού ρητού χ της Ι(α) και ενός αρνητικού ρητού ψ της κλάσης Ι(0) (πρώτης κλάσης του πραγματικού αριθμού μηδέν). Το γινόμενο ενός  θετικού ρητού και ενός αρνητικού ρητού είναι αρνητικός ρητός και επομένως ρητός της κλάσης Ι(0).  Αντιστρόφως αν ζ είναι ένας ρητός της κλάσης Ι(0) και χ ένας θετικός της κλάσης Ι(α)  τότε ο αριθμός   ψ= ζ/χ    είναι αρνητικός ρητός αριθμός και επομένως ρητός της Ι(0) και ισχύει ζ=χ.ψ με τον χ ρητό της Ι(α) και τον ψ ρητό της Ι(0).
Δείξαμε ότι για κάθε πραγματικό  θετικό α είναι     Ι(α.0) = Ι(0)
και επομένως   ότι  
 α.0 = 0 


Ο αριθμός ο αντίστροφος  ενός πραγματικού θετικού αριθμού

Θα αποδείξουμε ότι αν ο  α  είναι ένας οποιοσδήποτε πραγμαικός θετικός αριθμός υπάρχει πάντοτε ένας επίσης πραγματικός θετικός  αριθμός, έστω  ο  α΄ ,  τέτοιος ώστε να ισχύει
α.α΄ =  1
Λέμε ότι δύο τέτοιοι αριθμοί είναι μεταξύ τους αντίστροφοι. Ο α΄είναι αντίστροφος του α και ο αντίστροφος του α΄ είναι ο α.
Εφόσον  ο   α είναι θετικός  η κλάση ΙΙ(α) που περιλαμβάνει ρητούς μεγαλύτερους του α, περιλαμβάνει μόνο θετικούς ρητούς αριθμούς. Αν χ είναι ένας οποιοσδήποτε (θετικός) ρητός της ΙΙ(α) εκτός από τον  ελάχιστό της (αν υπάρχει),  για να σχηματίσουμε την κλάση  Ι(α΄) τοποθετούμε σε αυτήν τον (θετικό) ρητό (1/χ ) και κάθε μικρότερο του. Τοποθετούμε έτσι  στην Ι(α΄)  και θετικούς αριθμούς και τον  μηδέν και όλους  τους αρνητικούς ρητούς αριθμούς. Στην κλάση ΙΙ(α΄) τοποθετουμε όλους τους υπόλοιπους ρητούς αριθμούς που δεν είναι ούτε μικρότεροι ούτε ίσοι κάποιου αριθμού αντίστροφου ενός ρητού της ΙΙ(α).  Οι αριθμοί αυτοί είναι μεγαλύτεροι από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι(α΄). Μεταξύ τους προφανώς περιλαμβάνονται  οι ρητοί οι αντίστροφοι θετικών ρητών της  Ι(α).
Πρέπει να αποδείξουμε ότι  α.α΄= 1  δηλαδή  ότι
α) Ο α΄ είναι τομή των ρητών  αριθμών με θετικούς ρητούς στην Ι(α)
β) Η κλάση Ι(α.α΄) είναι η ίδια με την κλάση  Ι(1)

Για να δείξουμε το α) πρέπει να ελέγξουμε αν πληρούνται οι τέσσερεις απαραίτητες προϋποθέσεις.
1. Η κλάση Ι(α΄) και η κλάση ΙΙ(α΄) περιλαμβάνουν (μαζί οι δύο), όλους τους ρητούς αριθμούς.
2.Κάθε αριθμός της κλάσης  ΙΙ(α΄) είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι(α΄).
3. Αν ο χ είναι τυχαίος (θετικός ρητός) αριθμός της ΙΙ(α) και δεν είναι το ελάχιστο στοιχείο της, ο (1 / χ) είναι τυχαίος θετικός αριθμός της Ι(α΄) και μπορουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν στην Ι(α΄) μεγαλύτεροί του.
Πράγματι αφού ο χ  δεν είναι ο ελάχιστος της ΙΙ(α) υπάρχουν στη ΙΙ (α) μικρότεροί του. Αν  χ΄  ένας από αυτούς έχουμε  0 < χ΄< χ  [όλοι οι αριθμοί της ΙΙ(α) είναι θετικοί]  και ακόμη  ότι ο 1/χ΄ είναι αριθμός της Ι(α΄)  και  1 /χ΄ >  1/ χ
4. Η Ι(α΄)  και η ΙΙ(α΄) προφανώς δεν είναι κενές.
Επομένως η τομή Ι(α΄) / ΙΙ(α΄)  είναι πραγματικός αριθμός και μάλιστα θετικός αφού η Ι(α΄) περιλαμβάνει και θετικούς αριθμούς

Ας δούμε τώρα το β), δηλαδή  ότι     Ι(α.α΄) = Ι(1)
Έστω  χ τυχαίος θετικός ρητός της Ι(α)  και ψ τυχαίος  θετικός ρητός της Ι(α΄). Τότε ο χ.ψ  είναι τυχαίος αριθμός της  Ι(α.α΄). Όμως από τον ορισμό της Ι(α΄) ο   (1/ψ) είναι (θετικός) ρητός της ΙΙ(α) και επομένως  1/ψ  >  χ   ή αλλιώς  χ.ψ  < 1   που σημαίνει ότι ο χ.ψ είναι
ρητός και της Ι(1).
Αντιστρόφως:
Αν ζ είναι θετικός ρητός της Ι(1),  τότε  ζ < 1   και  
1/ζ > 1
Ο ρητός  (1/ζ)Ν  μεγαλώνει απεριόριστα όσο αυξάνει ο ακέραιος Ν αλλά τείνει στο 0 όταν ο ακέραιος Ν τείνει στο μείον άπειρο.  Μεταξύ των ακεραίων δυνάμεων του (1/ζ) θα υπάρχουν επομένως δυό διαδοχικές άκέραιες δυνάμεις του (1/ζ)  η (1/ζ)Κ και η (1/ζ)Κ+1 εκ των οποίων η πρώτη ανήκει στην Ι(α) και η δεύτερη στην ΙΙ(α). Επομένως  ο ρητός (1/ζ)Κ ανήκει στην Ι(α) και ο ρητός ζΚ+1 ανήκει στην Ι(α΄). Και επειδή
ζ =  ζΚ+1. (1/ζ)Κ 
ο ζ ανήκει και στην Ι(α.α΄)
Επίσης ο μηδέν και οι αρνητικοί ρητοί ανήκουν και στις δύο κλάσεις

Τον αντίστροφο ενός πραγματικού αριθμού α  τον συμβολίζουμε  1/α  ή    α-1. Ο αντίστροφος του 1/α  ή  αλλιώς του α-1  είναι ο α.
Αργότερα θα ορίσουμε και τους αντίστροφους αρνητικών αριθμών. Αντίστροφος του αριθμού 0 δεν υπάρχει. Θα δούμε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό α είναι
0.α = 0
Τέλος αντίστροφος του πραγματικού 1 είναι  ο πραγματικός αριθμός  1  αφού
1.1 = 1

Στο σώμα όμως δεν έχουμε φθάσει ακόμη. Όλες τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πραγματικών θα τις δούμε συνολικά για τον πολλαπλασιασμό μεταξύ πραγματικών αριθμών κάθε ένας από τους οποίους θα μπορεί να είναι είτε θετικός πραγματικός αριθμός, είτε αρνητικός πραγματικός αριθμός,  είτε ο πραγματικός αριθμός μηδέν. Έχουμε τρεις τρόπους για να προχωρήσουμε.
 Ο πρώτος τρόπος είναι να θεωρήσουμε τους πραγματικούς αριθμούς ως διατεταγμένα ζεύγη (ουσιαστικά διαφορές) θετικών πραγματικών αριθμών όπως είχαμε θεωρήσει τους ακέραιους ως διατεταγμένα ζεύγη φυσικών αριθμών. Έτσι όμως μεγάλο μέρος από τη δουλειά που έχουμε κάνει θα πάει χαμένο και επιπλέον ο τρόπος αυτός φαίνεται σαν τέχνασμα αν και δεν είναι.
Ο δεύτερος τρόπος είναι να συνεχίσουμε να ορίζουμε το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών με τον τρόπο που ορίσαμε το γινόμενο δύο πραγματικών θετικών αριθμών, διακρίνοντας περιπτώσεις.
-Αν  ο  α είναι θετικός και ο β αρνητικός  σχηματίζουμε τον πραγματικό αριθμό α.β ως τομή όλων των ρητών ως εξής.
Τοποθετούμε στην κλάση ΙΙ(α.β) κάθε αριθμό που είναι γινόμενο ενός θετικού ρητού χ της Ι(α)  και ενός αρνητικού  ρητού ψ της κλάσης ΙΙ(β)., καθώς και κάθε ρητό αριθμό που είναι μεγαλύτερος από έναν τέτοιο αριθμό. Βεβαιωθείτε ότι τα γινόμενα χ.ψ που σχηματίζονται με αυτόν τον τρόπο είναι μεγαλύτερα του α.β  .  Τοποθετούμε στην κλάση ΙΙ(α.β) και τον  (α.β) αν είναι ρητός. Στην κλάση Ι(α.β) τοποθετούμε όλους τους υπόλοιπους ρητούς. Εύκολα προκύπτει ότι το γινόμενο ενός θετικού πραγματικού και ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός όπως επιδιώκουμε αφού και το γινόμενο ενός θετικού και ενός αρνητικού ρητού αριθμού είναι αρνητικός ρητός αριθμός και είναι απαραίτητο να υπάρχει ισομορφία  μεταξύ των ρητών αριθμών αφ' ενός  και των ρητών πραγματικών αριθμών αφ' ετέρου.
-Αν και ο α, και β είναι αρνητικοί τοποθετούμε στην κλάση Ι(α.β) όλους τους ρητούς που είναι ίσοι ή μικρότεροι ενός ρητού που ισούται με το γινόμενο ενός αρνητικού ρητού  χ της κλάσης ΙΙ(α) και ενός επίσης αρνητικού ρητού ψ της κλάσης ΙΙ(β).
Και μπορούμε να συνεχίσουμε ορίζοντας με παρόμοιο τρόπο το γινόμενο (α.0)   με τον α αρνητικό ακέραιο ή ίσο με 0.
Είναι απλούστερο όμως να συσχετίσουμε τα γινόμενα  των πραγματικών αριθμών με τις απόλυτες τιμές τους. Θα προχωρήσουμε ευκολότερα. Θα χρειαστούμε ωστόσο για τις αποδείξεις μας , την παράσταση πραγματικών αριθμών ως διαφορών πραγματικών θετικών αριθμών και αυτό θα γίνει απλά  και με απόλυτα φυσικό τρόπο. Συνεχίζουμε. 



Πολλαπλασιασμός δύο πραγματικών αριθμών α και β

Αν ο χ είναι πραγματικός αριθμός τότε
χ = | χ |     αν ο αριθός χ είναι θετικός   ή    αν  χ = 0,  και
χ = -| χ |    και   | χ | = -χ   αν ο  χ  είναι αρνητικός αριθμός

Επομένως αν οι α, β είναι πραγματικοί 
θετικοί αριθμοί τότε
α.β = | α |.| β |

Ορίζουμε:
α.β = | α | .| β |     αν κάθε ένας από τους  α, β είναι  αρνητικός
α.β = -(| α |.| β |)       αν  α>0  και    β < 0 
                                ή αντιστρόφως

α.β =    0              αν α=0 ή β= 0 ή α = β = 0

όπως συμβαίνει και για τους ρητούς αριθμούς

Το γινόμενο | α |.| β | με α, β διάφορους του μηδέν είναι γινόμενο θετικών πραγματικών αριθμών  και επομένως έχει ορισθεί.



Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πραγματικών  αριθμών

1. Ο  α.β ισούται
με -(| α |.| β |)|     αν μόνο ένας από τους  α, β  είναι αρνητικός, και
με    | α | .| β |     στις άλλες περιπτώσεις  (από τον ορισμό)

2. Αν  α.β  = 0  τότε   ή   α = 0  ή  β = 0   ή    α = β = 0  από τον ορισμό)

3. Αν α.β ≠ 0  τότε   α ≠ 0   και    β ≠ 0  (από τον ορισμό)

4. α.β = β.α  (αντιμεταθετικότητα)
αν είναι θετικοί γιατί ο ορισμός γινομένου θετικών πραγματικών αριθμών ορίζει πράξεις πολλαπλασιασμού των (ρητών) αριθμών των πρώτων κλάσεων των δύο αριθμών που είναι αντιμεταθετικές. Οι άλλες περιπτώσεις είτε προκύπτουν αμέσως από τον γενικό ορισμό είτε ανάγονται αμέσως στην αντιμεταθετικότητα του γινομένου θετικών πραγματικών αριθμών

5. α.1 = α   (ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου)
Για α > 0 έχει δειχθεί. Για τις άλλες περιπτώσεις προκύπτει από τον ορισμό

6. α.(-β) = (-α).β =  -(α.β)
Αν α = 0 ή β=0  είναι προφανές
Αν α ≠ 0   και    β ≠ 0  τα τρία γινόμενα έχουν την ίδια απόλυτη τιμή  και είναι αρνητικά μόνον όταν ακριβώς  ένας από τους α και β είναι αρνητικός και είναι αρνητικά  σε όλες τις άλλες περιπτώσεις.

7. (-α).(-β) = α.β
Ελέγχεται με τον ίδιο τρόπο που ελέγχεται η προηγούμενη ιδιότητα. Μπορεί επίσης να αναχθεί στην προηγούμενη και στη σχέση    - (- χ)  =  χ

8. (α.β).γ = α.(β.γ)   (προσεταιριστικότητα)
Και τα δύο γινόμενα έχουν την ίδια απόλυτη τιμή  (| α |.| β |.| γ|), και είναι αρνητικά ή θετικά στις ίδιες περιπτώσεις

9. Αν α, β, γ είναι θετικοί  τότε  α.(β – γ)  =  α.β – α.γ

Αν   β = γ  τότε  α.(β-γ) = 0 = αβ – αγ.
Αν   β > γ  τότε (β-γ ) > 0   και  (β-γ) + γ  = β  και επομένως   α.[(β-γ) + γ] = α.β
Αυτό εξ αιτίας της επιμεριστικότητας σε θετικούς  πραγματικούς μας δίνει
α.(β-γ) + α.γ = α.β  δηλαδή  α.(β-γ) = α.β – α.γ
Αν  β < γ   τότε
α.(γ-β) =  α.γ – α.β,
α.(β-γ) = α.[-(γ-β)]  = - α.(γ-β) =
= -(α.γ-α.β) = α.β – α.γ 

10. α.(β+γ) = α.β+α.γ  (επιμεριστικότητα)

Αν α > 0 γράφω τους  πραγματικούς β, γ, ως διαφορά θετικών πραγματικών αριθμών. Δηλαδή
Αν β > 0 θετικός  τότε  β = (β+ν) –ν (ν θετικός)
Αν   β=0  τότε β =  1-1
Αν   β < 0  τότε  β = (β+ Ν) – Ν   με Ν > | β | 
Και γενικά  β = β΄- β΄΄   με  β΄,  β΄΄ θετικούς και όμοίως γ = γ΄- γ΄΄  με γ΄, γ΄΄ θετικούς.
Επομένως   α.(β+γ) =  α.[(β΄-β΄΄)+(γ΄-γ΄΄)] = α.[(β΄+γ΄) – (β΄΄+ γ΄΄)]
Βρίσκω (βάσει της ιδιότητας 9) ότι
α.(β+γ) = α(β΄+γ΄) – α(β΄΄+γ΄΄) =  …  = α(β΄-β΄΄) + α.(γ΄-γ΄΄)  = α.β+α.γ
Αν α=0  η ισότητα α.(β+γ) = α.β +α.γ  προφανώς ισχύει
Αν α < 0 τότε βάσει του ορισμού του πολλαπλασιασμού και των ιδιοτήτων  έχω
α.(β+γ) = (-| α|).(β+γ) = - [|α |.(β+γ)] =
= -( | α |.β + | α|.γ) = -( | α |.β) + [-( | α |.γ)] =
= (-| α |).β  + (-| α |).γ = αβ+α.γ  

11. Κάθε πραγματικός αριθμός εκτός του μηδέν έχει αντίστροφο. (ύπαρξη αντιστρόφου του α αν α  ≠  0)
Για  α > 0   το έχουμε ήδη δείξει
Για  α < 0    παρατηρούμε  ότι
α.[ - (1/| α |) ]  =  (-α).( 1/| α |) =  | α |.( 1/| α |) = 1
και επομένως αντίστροφος  του  πραγματικού αριθμού  α < 0 είναι ο πραγματικός αριθμός  - (1/| α |).




8. Οι πραγματικοί αριθμοί

8.1 Το σώμα των πραγματικών αριθμών

Σχεδόν φτάσαμε εκεί που θέλαμε να φτάσουμε. Ξεκινήσαμε από τους φυσικούς αριθμούς και μελετήσαμε τις ιδιότητες τους. Από τους φυσικούς κατασκευάσαμε και μελετήσαμε τους ακέραιους. Από τους ακέραιους κατασκευάσαμε και μελετήσαμε τους ρητούς αριθμούς. Βρήκαμε ότι οι ρητοί αριθμοί αποτελούν διατεταγμένο σώμα με άπειρα στοιχεία ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Βρήκαμε ότι  οι ρητοί αποτελούν πρώτο σώμα. Βρήκαμε ότι κάθε πρώτο σώμα με άπειρα στοιχεία είναι  ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών. Μελετήσαμε επεκτάσεις του σώματος ή πεδίου των  ρητών αριθμών. Σημαντική η επισήμανση του σώματος των αλγεβρικών αριθμών. Και τελικά κατασκευάσαμε από τους ρητούς αριθμούς ένα νέο ευρύτερο σύνολο αριθμών , το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Ορίσαμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών και βρήκαμε τις ιδιότητές τους. Και καταλήγουμε στα εξής.


8.1 
Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν διατεταγμένο σώμα ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.

Έχουμε δεί ότι
Για την  πρόσθεση πραγματικών αριθμών ισχύει
α+β = β+α
α+(β+γ) =(α+β)+γ
Υπάρχει πραγματικός αριθμός 0  για τον οποίο ισχύει α+0 = α  για κάθε πραγματικό α
Για κάθε α υπάρχει ένας αριθμός (ο αντίθετος του α που τον γράφουμε –α)   για τους οποίους ισχύει  α+(-α) = 0
Για τον πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών ισχύει
α.β = β.α
α.(β.γ) = (α.β).γ
Υπάρχει ο πραγματικός αριθμός 1 (1 ≠ 0), για τον οποίο ισχύει
α.1 = α    για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α.
Για κάθε πραγματικό  α ≠ 0 υπάρχει ένας αριθμός (τον συμβολίζουμε 1/α  ή  α-1)  και ισχύει α.(1/α) = 1
Επιπλέον για τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση ισχύει
α.(β+γ) = α.β +α.γ
Αυτά αρκούν για να αποτελούν εξ ορισμού οι πραγματικοί αριθμοί σώμα ή πεδίο αριθμών για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
Επιπλέον ορίσαμε θετικούς και αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς και βρήκαμε ότι  κάθε πραγματικός αριθμός είναι ή μόνο θετικός ή μόνο αρνητικός ή ο μηδέν. Βρήκαμε ακόμη ότι αν ο α είναι πραγματικός αριθμός τότε ισχύει ακριβώς μία από τις προτάσεις
Ο α είναι θετικός
Ο -α  είναι θετικός
α = 0
Βρήκαμε  τέλος ότι το άθροισμα και το γινόμενο δύο θετικών πραγματικών αριθμών είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.
Αυτά αρκούν για να αποτελεί το σώμα των πραγματικών αριθμών διατεταγμένο σώμα και για να μπορεί να ορισθούν ανισοτικές σχέσεις που θα έχουν όλες τις ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων μεταξύ ρητών αριθμών (αναφέρονται στα σχετικά με το πεδίο  των ρητών αριθμών).  ΄
Να πούμε περαιτέρω ότι ορίζεται  ότι είναι α>β όταν ο αριθμός (α-β) είναι θετικός, α<β όταν ο (α-β)  είναι αρνητικός  και ανάλογα οι άλλες ανισοτικές σχέσεις.


8.2 Το σώμα των  πραγματικών αριθμών περιέχει ως γνήσιο υποσώμα του, ένα σώμα ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών. Πρόκειται για τους πραγματικούς ρητούς αριθμούς. 

Συμβολίζω (αλλά μόνον εδώ),  χ* τον πραγματικό ρητό αριθμό του οποίου  η πρώτη κλάση του Ι(χ*) αποτελείται από όλους τους ρητούς αριθμούς τους μικρότερους του ρητού αριθμού χ  για κάθε τιμή του χ.
Αντιστοιχώ:
Στους ρητούς  0 και 1, τους πραγματικούς 0* και 1*
στο ρητό χ  τον πραγματικό ρητό αριθμό χ*  για κάθε τιμή του χ,
στο άθροισμα α+β των όποιων ρητών α,β   θα βρούμε ότι  αντιστοιχεί το άθροισμα α*+β* των πραγματικών ρητών α*, β*  και
στο γινόμενο  α.β ,  θα βρούμε ότι αντιστοιχεί το γινόμενο α*.β*
Ισχύει:
Ι.   Σε κάθε ρητό χ  αντιστοιχεί ένας πραγματικός ρητός αριθμός χ*
ΙΙ.  Κάθε πραγματικός ρητός ψ* έχει πρώτη κλάση που αποτελείται από όλους τους ρητούς που είναι μικρότεροι από έναν ρητό αριθμό έστω τον ψ και επομένως είναι αντίστοιχος αυτού του  ρητού αριθμού
ΙΙΙ. Αν  χ <  ψ   τότε η πρώτη κλάση Ι(χ*)  της τομής που ορίζει τον χ*  είναι υποσύνολο της πρώτης κλάσης  Ι(ψ*) της τομής του ψ*  και επομένως  χ* < ψ*  
Αυτό σημαίνει επίσης ότι
ΙV.  Αν  χ  ≠  ψ  τότε  χ* ≠  ψ*

Οι  Ι , ΙΙ , ΙV  βεβαιώνουν ότι η αντίστοίχηση  ρητών και πραγματικών ρητών που ορίσαμε είναι 1 προς 1 και καλύπτει όλους τους ρητούς και όλους τους πραγματικούς ρητούς αριθμούς.
Συνεχίζουμε για τη διατήρηση των πράξεων. Έχουμε:

V. (χ+ψ)* =  χ*+ψ*  (προκύπτει από την ισότητα των πρώτων κλάσεων του (χ+ψ)* και του (χ*+ψ*)
  Ο (χ+ψ)* έχει πρώτη του κλάση αποτελείται από τους ρητούς τους μικρότερους του  ρητού (χ+ψ)
  Ο  χ* έχει πρώτη κλάση που αποτελείται από τους ρητούς τους μικρότερους του ρητού χ
  Ο ψ* έχει πρώτη κλάση που αποτελείται από τους ρητούς τους μικρότερους του ρητού ψ
  Ο (χ* + ψ*) έχει πρώτη κλάση που αποτελείται από τους ρητούς τους μικρότερους του ρητού (χ+ψ)
VΙ.   Αν   χ > 0  και  ψ > 0  τότε  (χ.ψ)*  = (χ*.ψ*)  (προκύπτει επίσης από την ισότητα των πρώτων κλάσεων του (χ.ψ)* και του (χ*.ψ*)  
VIΙ.  (χ.ψ)* =  χ*.ψ* και στις υπόλοιπες περιπτώσεις (προκύπτει από τους ορισμούς των γινομένων ρητών αριθμών αφ’ ενός και πραγματικών ρητών αφ’ ετέρου  και στις υπόλοιπες περιπτώσεις).
Οι παραπάνω  προτάσεις, V,  VΙ  και  VΙΙ  βεβαιώνουν ότι η αντιστοίχηση που ορίσαμε διατηρεί τις πράξεις, και η  πρόταση ΙΙΙ βεβαιώνει ότι διατηρεί και τη διάταξη.  Έχουμε επομένως ισομορφισμό.
Οι ρητοί αριθμοί που έχουμε κατασκευάσει από το 1 και το 0  και οι πραγματικοί ρητοί αριθμοί που έχουν κατασκευαστεί ως τομές ρητών αριθμών, είναι σώματα ισόμορφα. 
Οι ρητοί αριθμοί αποτελούν επομένως σώμα ισόμορφο προς ένα υποσώμα των πραγματικών  αριθμών.
Με αυτήν την έννοια
οι ρητοί αριθμοί αποτελούν υποσώμα του σώματος των πραγματικών αριθμών   και
οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν σώμα, επέκταση του σώματος των ρητών αριθμών


8.3Το σώμα των πραγματικών αριθμών είναι πλήρες.

Πλήρες σημαίνει ότι περιέχει αριθμούς με τους οποίους μπορεί να μετρηθεί οποιοδήποτε μέγεθος.
Θυμίζω ότι στους ρητούς αριθμούς δεν υπάρχει αριθμός που μετρά με ακρίβεια  το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι μια μονάδα μήκους και ότι αυτό δεν είναι καθόλου μεμονωμένο παράδειγμα. Αφορά όλα σχεδόν τα ακριβώς καθορισμένα μήκη.
Το κριτήριο της πληρότητας είναι το αν στις τομές όλων των πραγματικών  αριθμών υπάρχει πάντοτε ένας πραγματικός αριθμός (ρητός ή άρρητος), μεγαλύτερος από όλους τους πραγματικούς αριθμούς της κλάσης Ι της τομής  και  μικρότερος από όλους τους άλλους πραγματικούς αριθμούς της κλάσης ΙΙ της τομής. 

Θυμίζω ότι στις τομές των ρητών αριθμών δεν υπάρχει πάντα ένας ρητός αριθμός μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της πρώτης κλάσης της τομής και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της δεύτερης κλάσης. 
Θυμίζω ότι ορίσαμε κάθε τέτοια τομή ως έναν πραγματικό άρρητο αριθμό και  τις υπόλοιπες τομές ( στις οποίες υπάρχει ένας ρητός αριθμός μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της πρώτης κλάσης της τομής και μικρότερος από όλους τους αριθμούς της δεύτερης κλάσης ) τις ορίσαμε ως πραγματικούς ρητούς άριθμούς. Οι άρρητοι και οι ρητοί πραγματικοί αριθμοί αποτελούν όλοι μαζί τους πραγματικούς αριθμούς.

Το ερώτημα είναι αν οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν πλήρες σώμα.
 Η απάντηση είναι  ΝΑΙ. Την απόδειξη τη δίνουμε αμέσως τώρα.

Θα αποδείξουμε όμως ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι πλήρες αλλά όχι μόνο αυτό. Θα αποδείξουμε ότι το σώμα των πραγματικών αριθμών  είναι το μοναδικό πλήρες σώμα. Κάθε πλήρες σώμα είναι ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών



9. Η πληρότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών και οι συνέπειες της

Θα δείξουμε τρία θεωρήματα.  
Με το πρώτο αποδεικνύουμε την πληρότητα του σώματος των  πραγματικών αριθμών όπως έχουμε αναφέρει.
Με το δεύτερο θεώρημα θα δείξουμε  την ύπαρξη ελάχιστου άνω φράγματος κάθε άνω φραγμένου συνόλου πραγματικών αριθμών  ως άμεση συνέπεια της πληρότητας των πραγματικών αριθμών.
Με το τρίτο θεώρημα θα δείξουμε και ότι η ύπαρξη ελάχιστου άνω φράγματος κάθε φραγμένου  υποσυνόλου ενός διατεταγμένου  σώματος Σ, συνεπάγεται την πληρότητα του σώματος Σ.
Στην ενότητα 9.5 θα αποδείξουμε και τη μοναδικότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών αποδεικνύοντας ότι κάθε πλήρες σώμα είναι ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών


9.1 Θεώρημα Ι

Αν διαιρέσουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς σε δύο μη κενές κλάσεις Ι, και ΙΙ έτσι ώστε κάθε αριθμός της κλάσης Ι να είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της κλάσης ΙΙ και η πρώτη κλάση να μην έχει μέγιστο στοιχείο, τότε
θα υπάρχει κάθε φορά ένας πραγματικός αριθμός που θα είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι και  μικρότερος από όλους τους άλλους  αριθμούς της κλάσης ΙΙ,
Τον αριθμό αυτόν τον θέτουμε ως ελάχιστο στιχείο της κλάσης ΙΙ
Μπορούμε να το διατυπώσουμε και διαφορετικά:
Κάθε τομή των όλων των πραγματικών αριθμών θα   ορίζει έναν πραγματικό αριθμό μεγαλύτερο από όλους τους αριθμούς της πρώτης κλάσης και μικρότερο από όλους τους άλλους αριθμούς της δεύτερης κλάσης. Θα τον θέτουμε ως πρώτο αριθμό της κλάσης ΙΙ  Υπενθυμίζω ότι πραγματικός αριθμός σημαίνει  τομή  των ρητών αριθμών.

Υπάρχει και τρίτη διατύπωση. Τα αμέσως παραπάνω αποτελούν εξ ορισμού άλλη διατύπωση του ότι
Το σώμα των πραγματικών αριθμών είναι πλήρες

Η  απόδειξη:

Ας πούμε από την αρχή ότι δεν μπορεί να υπάρχουν
και ένας πραγματικός αριθμός της πρώτης κλάσης έστω ο Α, που θα είναι μεγαλύτερος  από όλους τους άλλους αριθμούς της πρώτης κλάσης
και ένας διαφορετικός πραγματικός αριθμός έστω ο  Β ≠ Α   της δεύτερης κλάσης που θα είναι μικρότερος από όλους τους άλλους αριθμούς της δεύτερης κλάσης, γιατί τότε
θα είναι  Α < Β, και οι αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ του Α και του Β δεν μπορείνα ανήκουν ούτε στην κλάση Ι ως μεγαλύτεροι του Α, ούτε στην κλαση ΙΙ ως μικρότεροι του Β.  
Αυτό όμως αντίκειται στο ότι οι δύο κλάσεις περιλαμβάνουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
Φυσικά δεν μπορεί να είναι   Β < Α, αφού ο Α ανήκει στην κλάση Ι και ο Β στην κλάση ΙΙ της τομής.

Έχοντας αυτό υπόψη ας σημειώσουμε Ι΄ και ΙΙ΄ το σύνολο όλων των ρητών αριθμών της κλάσης Ι  και της κλάσης ΙΙ, αντίστοιχα.  Και ας θεωρήσουμε τα σύνολα Ι΄και ΙΙ΄ως την πρώτη και τη δεύτερη κλάση μιας τομής του συνόλου των ρητών αριθμών. Οι δύο αυτές κλάσεις δεν είναι κενές, και οι δύο μαζί περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς αριθμούς. Ακόμη κάθε αριθμός της Ι΄ είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της ΙΙ΄.
Η  Ι΄ δεν έχει μέγιστο αριθμό γιατί αν είχε θα ήταν μέγιστος αριθμός και της Ι. Επομένως έχουμε μια τομή των ρητών αριθμών. Η τομή αυτή του συνόλου των ρητών αριθμών ορίζει έναν πραγματικό αριθμό έστω τον Μ που είναι μεγαλύτερος από κάθε αριθμό της  Ι΄, δηλαδή από κάθε ρητό αριθμό της κλάσης Ι και είναι μικρότερος από κάθε άλλον ρητό αριθμό της κλάσης ΙΙ΄  

Λέω ότι ο πραγματικός αριθμός Μ είναι μεγαλύτερος από κάθε  αριθμό της κλάσης Ι είτε ρητό είτε άρρητο, και επίσης είναι μικρότερος από κάθε άλλον (εκτός του Μ) αριθμό της κλάσης ΙΙ. 

Γιατί αν  α  είναι αριθμός της κλάσης Ι  τότε
1.δεν μπορεί να είναι Μ=α .
2. Αν είναι   Μ < α,  θα υπάρχουν μεταξύ του Μ και του α ρητοί αριθμοί
Οι ρητοί αυτοί αριθμοί θα πρέπει να ανήκουν στην κλάση Ι ως μικρότεροι του α, και
στην κλάση  ΙΙ΄ως μεγαλύτεροι του Μ.
Όμως η κλάση Ι δεν έχει κοινά στοιχεία ούτε με την κλάση  ΙΙ ούτε με την  κλάση  ΙΙ΄ που είναι υποσύνολο της κλάσης ΙΙ.
Αναλόγως αν β είναι ένας αριθμός της κλάσης ΙΙ   διαφορετικός του Μ και είναι  Μ > β  τότε μεταξύ του β και του Μ θα υπάρχουν ρητοί αριθμοί.Οι αριθμοί αυτοί θα πρέπει να ανήκουν στην κλάση ΙΙ ως μεγαλύτεροι του β, και στην κλάση  Ι΄ ως μικρότεροι του Μ.
Όμως η κλάση  ΙΙ δεν έχει κοινά στοιχεία ούτε με την κλάση  Ι ούτε με την  κλάση  Ι΄ που είναι υποσύνολο της κλάσης Ι.
Τον αριθμό Μ θα τον θέτουμε ως ελάχιστο αριθμό της κλάσης ΙΙ

Το σώμα των πραγματικών αριθμών είναι επομένως πλήρες

9.2 Θεώρημα ΙΙ

Κάθε άνω φραγμένο μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών έχει  ελάχιστο άνω φράγμα.
Ένας πραγματικός αριθμός Μ αποτελεί άνω φράγμα  ενός  σύνολου S, υποσυνόλου του συνόλου των πραγματικών αριθμών,  αν δεν είναι μικρότερος από κανένα αριθμό που ανήκει στο S. Αυτό σημαίνει ότι 
Ο Μ είναι άνω φράγμα του S  όταν  ισχύει  χ ≤ Μ,  για κάθε αριθμό χ που ανήκει ανήκει στο S.
Λέμε ακόμη στην περίπτωση που  υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός Μ με αυτή την ιδιότητα  ότι το σύνολο S είναι άνω φραγμένο.
Προφανώς, αν ο Μ αποτελεί άνω φράγμα του S, τότε κάθε πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του Μ αποτελεί επίσης άνω φράγμα του S. Σημασία έχει επομένως το ελάχιστο άνω φράγμα κάθε άνω φραγμένου συνόλου S.
Το ελάχιστο άνω φράγμα κάθε άνω φραγμένου συνόλου S είναι ο αριθμός Μ0   που αποτελεί άνω φράγμα του S και επιπλέον ικανοποιεί την σχέση   Μ0 ≤ Μ για κάθε αριθμό Μ που αποτελεί επίσης άνω φράγμα του S. Και τώρα η απόδειξη του θεωρήματος.
Έστω Α ένα άνω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών και Μ ένα άνω φράγμα του. Αν ο χ ανήκει στο Α  τότε  ισχύει 
χ  ≤  Μ.

Σχηματίζουμε   τομή των πραγματικών αριθμών ως εξής.
Στη δεύτερη κλάση θέτουμε όλους τους αριθμούς που αποτελούν άνω φράγματα του Α. Αν το σύνολο Α έχει μέγιστο στοιχείο τότε αυτό αποτελεί άνω φράγμα του Α και επομένως το θέτουμε και αυτό στην κλάση ΙΙ
Στην πρώτη κλάση θέτουμε όλους τους υπόλοιπους πραγματικούς αριθμούς συμπεριλαμβανομένων όλων των αριθμών του Α εκτός του μεγίστου (αν υπάρχει μέγιστο στοιχείο του Α ),  και όλων των αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιον αριθμό του Α που μπορεί να είναι και ο μέγιστος του Α.
Η πρώτη κλάση δεν  έχει μέγιστο. Οι δύο κλάσεις δεν είναι κενές, κάθε αριθμός της πρώτης είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της  δεύτερης και οι δύο μαζί  περιλαμβάνουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Έχουμε μια τομή που ορίζει έναν πραγματικό αριθμό. 
Αν α είναι ο πραγματικός αριθμός που ορίζει η  τομή τότε ο α είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι, και θα ανήκει στην κλάση ΙΙ, αφού η κλάση Ι δεν έχει μέγιστο.
Ο α είναι  επίσης μικρότερος από κάθε άλλον αριθμό της κλάσης  ΙΙ που αποτελείται από όλα τα άνω φράγματα του Α. Άρα είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του Α.

Σημειώνω ότι:
1. Αν το σύνολο Α έχει μέγιστο στοιχείο τότε προφανώς το μέγιστο του στοιχείο είναι και το ελάχιστο άνω φράγμα του.
2. Ο αριθμός που ορίζει μια τομή είναι το ελάχιστο άνω φράγμα των αριθμών της πρώτης κλάσης της τομής
3. Το τι  σημαίνει κάτω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών, και μέγιστο κάτω φράγμα είναι  ευνόητο.  
Η πρόταση
Κάθε κάτω φραγμένο και μη κενό υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα
μπορεί να αποδειχθεί εύκολα.
 Η απόδειξη βασίζεται στην ύπαρξη ελαχίστου άνω  φράγματος των άνω φραγμένων συνόλων. Άν το κάτω φραγμένο σύνολο είναι το Β  τότε B΄ το σύνολο που περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς που είναι αντίθετοι  ενός αριθμού του Β και μόνον αυτούς, τότε το Β΄ είναι άνω φραγμένο και έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα. Ο αριθμός ο αντίθετος του ελάχιστου άνω  φράγματος του Β΄ είναι το μέγιστο κάτω φράγμα του Β.
4. Δείξαμε ότι το θεώρημα Ι συνεπάγεται το θεώρημα ΙΙ .  Ισχύει και το αντίστροφο.

9.3 Θεώρημα ΙΙΙ : 
 Η ισχύς της πρότασης του θεωρήματος για την ύπαρξη ελαχίστου άνω φράγματος των άνω φραγμένων συνόλων σε ένα διατεταγμένο σώμα αριθμών,  συνεπάγεται αυτό το σώμα είναι πλήρες, δηλαδή συνεπάγεται ότι  κάθε τομή σε αυτό το σώμα ορίζει έναν αριθμό που ανήκει στο σώμα ο οποίος είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι της τομής και μκρότερος από όλους τους άλλους αριθμούς της κλασης ΙΙ της τομής.
Έστω ότι σε ένα διατεταγμένο σώμα ισχύει η πρόταση του θεωρήματος για την ύπαρξη ελάχιστου άνω φράγματος των άνω φραγμένων συνόλων.
Σχηματίζουμε στο σώμα μια τυχαια τομή των στοιχείων του.  Θα δείξουμε ότι ορίζει έναν πραγματικό αριθμό.
Σχηματίζουμε τομή σημαίνει ότι χωρίζουμε όλα τα στοιχεία του σώματος σε δύο μη κενές κλάσεις   Ι και ΙΙ έτσι ώστε
α) κάθε στοιχείο της κλάσης Ι να είναι μικρότερο από κάθε στοιχείο της κλάσης ΙΙ 
β) και οι δύο κλασεις  μαζί  να συμπεριλαμβάνουν όλα τα στοιχεία του σώματος και
γ) η κλάση Ι να μην έχει μέγιστο στοιχείο.
Έτσι ο σύνολο όλων των στοιχείων της κλάσης Ι θα είναι  άνω φραγμένο από κάθε στοιχείο της κλάσης ΙΙ και θα έχει επομένως ένα ελάχιστο άνω φράγμα έστω τον Α (Α αριθμός του σώματος)
Ο  Α  ως άνω φράγμα δεν είναι μικρότερος από κανένα στοιχείο της κλάσης Ι, και επειδή η κλάση Ι δεν περιέχει μέγιστο στοιχείο δεν είναι ίσος με κανέναν αριθμό της. Ανήκει επομένως στην κλάση ΙΙ της τομής,, και επομένως είναι μεγαλύτερος από κάθε αριθμό της κλάσης Ι, και  ως ελάχιστο άνω φράγμα είναι μικρότερος από κάθε άλλον αριθμό της κλάσης ΙΙ. Η τομή ορίζει επομένως τον αριθμό Α που αποτελεί στοιχείο του σώματος.

Έχει τώρα δειχθεί ότι σε ένα διατεταγμένο σώμα οι προτάσεις των θεωρημάτων 1 και 2 είναι λογικά ισοδύναμες Επομένως η ισχύς μιας οποιασδήποτε εκ των δύο εξασφαλίζει την πληρότητα  του σώματος. Υπάρχουν και άλλα συστήματα προτάσεων ισοδύναμων με κάθε μια από αυτές τις προτάσεις.Επ’ αυτού θα επανέλθουμε.  Θυμίζουμε όμως ότι αυτές οι δύο προτάσεις δεν ισχύουν στο σώμα των ρητών αριθμών. Οι ρητοί αριθμοί δεν αποτελούν πλήρες σώμα.


9.4 Η δεύτερη μορφή του αξιώματος της πληρότητας - Αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών

Ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης του ζητήματος  είναι να τεθεί αξιωματικά ότι 
Υπάρχει ένα σύνολο αριθμών, το σύνολο των πραγματικών αριθμών,  που αποτελεί διατεταγμένο σώμα, και είναι πλήρες.  

Στο  σύνολο αυτό (το σύνολο των πραγματικών αριθμών), ισχύουν αξιωματικά όλοι οι νόμοι των πράξεων και όλες οι ιδιότητες των ανισοτήτων αφού το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελεί διατεταγμένο σώμα. Με τα παραπάνω εξασφαλίζεται ακόμη ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει ως διατεταγμένο σώμα άπειρα στοιχεία  μεταξύ των οποίων τους φυσικούς αριθμούς, τους ακέραιους αριθμούς και γενικά όλους τους ρητούς αριθμούς. Δείτε σχετικά την ενότητα. 
6. Ποια πρώτα σώματα υπάρχουν. - Η μοναδικότητα του σώματος των ρητών αριθμών.
Ως σύνολο των των φυσικών αριθμών αυτού του σώματος μπορεί να ορισθεί ως η τομή όλων των συνόλων  αριθμών του σώματος  που περιλαμβάνουν τον αριθμό 0 και μαζί με κάθε αριθμό  χ που περιλαμβάνουν, περιλαμβάνουν και τον αριθμό (χ+1). 

Η πληρότητα του νέου σώματος εξασφαλίζεται με μια πρόταση που τίθεται επί πλέον των προτάσεων που ισχύουν για διατεταγμένα σώματα, γίνεται δεκτή αξιωματικά και αποτελεί για μας τη δεύτερη μορφή του αξιώματος της πληρότητας. Το αξίωμα αυτό εξασφαλίζει μεταξύ πολλών άλλων ότι το σώμα των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει και αριθμούς που δεν είναι ρητοί. Υπάρχουν 4 προτάσεις ή συστήματα προτάσεων που εξασφαλίζουν την πληρότητα διατεταγμένου σώματος. Για την αξιωματική θεμελίωση συνηθίζεται  να χρησιμοποιείται η πρόταση για την ύπαρξη ελαχίστου άνω φράγματος των άνω φραγμένων συνόλων. Είναι ο απλούστερος τρόπος. Έτσι για τους πραγματικούς αριθμούς τίθεται ως αξίωμα ότι

Κάθε μη κενό άνω φραγμένο υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών  αριθμών έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα που είναι πραγματικός αριθμός,  ρητός ή άρρητος.
Θυμίζουμε ότι το ελάχιστο άνω φράγμα ενός άνω φραγμένου συνόλου είναι μοναδικό.
 Η πρόταση
Κάθε κάτω φραγμένο υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα
προκύπτει ως θεώρημα, όπως έχουμε αποδείξει.

Το αξίωμα του ελάχισυου άνω φράγματος εξασφαλίζει όλα όσα είπαμε και ότι τελικά οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα που μας παρέχει τη δυνατότητα να θεμελιώσουμε την μαθηματική ανάλυση, να μετρήσουμε κάθε μέγεθος και να αντιστοιχήσουμε τα στοιχεία του  όλα και ένα προς ένα, με όλα τα σημεία μιας ευθείας.

 Οι ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών που δεν είναι και ιδιότητες του συνόλου των ρητών αριθμών, απορρέουν από αυτό το αξίωμα  και με βάση αυτό το αξίωμα αποδεικνύονται.   

Ωστόσο δεν έχουμε αποδείξει με βάση μόνο τα αξιώματα του διατεταγμένου σώματος και του ελαχίστου άνω φράγματος κάποιες οικείες προτάσεις. Θα το κάνουμε τώρα.

Πρόταση: Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο.

Γιατί αν ήταν άνω φραγμένο θα είχε ένα ελάχιστο άνω φράγμα,  έστω τον πραγματικό αριθμό Α. Τότε θα υπάρχει ένας τουλάχιστον φυσικός αριθμός Ν > Α-1, αλλιώς δεν θα ήταν ο Α το ελάχιστο άνω φράγμα. Αυτό συνεπάγεται ότι  Ν+1 > Α.
Επειδή όμως ο (Ν+1) είναι φυσικός αριθμός αυτό αντίκειται στο ότι ο Α είναι  άνω φράγμα του συνόλου των φυσικών αριθμών.


Πρόταση: Για κάθε πραγματικό αριθμό χ υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός α για τον οποίο ισχύει  
α ≤  χ  < α+1

Το έχουμε ήδη πεί στην παράγραφο για τις ρητές προσεγγίσεις πραγματικών αριθμών μέσω τομών.  Πρέπει όμως να δείξουμε ότι απορρέει από το αξίωμα ύπαρξης ελαχίστου άνω φράγματος. 
Δείξαμε ότι για κάθε πραγματικό χ, υπάρχουν ακέραιοι  μεγαλύτεροι του χ.

Υπάρχουν και ακέραιοι μεγαλύτεροι του -χ . Οι αντίθετοί τους είναι μικρότεροι του χ.
Έστω κ, (ρ+1) δύο ακέραιοι  για τους οποίους ισχύει  κ < χ <ρ+1
Θεωρώ το διάστημα  [κ, ρ+1) και το διαιρώ σε (ρ-κ)  διαδοχικά διαστήματα της μορφής [λ, λ+1), με πρώτο το [κ, κ+1) και τελευταίο το [ρ, ρ+1).
Σε κάθε διάστημα της μορφής [α, β) περιλαμβάνεται ο α αλλά δεν περιλαμβάνεται ο β. Τα παραπάνω διαστήματα επομένως δεν έχουν κοινά στοιχεία και είναι πεπερασμένα κατά το πλήθος . Όλα μαζί περιέχουν όλα τα στοιχεία  του διαστήματος[κ, ρ+1) στο οποίο περιέχεται ο χ. Άρα ο χ περιέχεται σε ένα και μόνο ένα από αυτά, έστω στο  [α, α+1) .    Θα έχω επομένως 
α ≤  χ < α+1  για α ακέραιο.
Προφανώς δεν υπάρχουν δύο ακέραιοι α με αυτήν την ιδιότητα.
Ο ακέραιος α που έχει αυτή την ιδιότητα καλείται ακέραιο μέρος του χ και συμβολίζεται Ακ(χ) ή [χ] 1
Μπορούμε να συνεχίσουμε διαιρώντας το διάστημα [α 1] σε 10 ίσα ημιανοικτά διαστήματα που καθένα περιλαμβάνει το αριστερό του άκρο αλλά δεν περιλαμβάνει το δεξιό του. Θα βρούμε έτσι τον χ  να περιέχεται σε ένα από αυτά τα διαστήματα και να είναι α,α≤  χ < α,α+ 1/10 
και συνεχίζοντας κατά τον ίδιο τρόπο να βρούμε α,αα2 ......αν  ≤  χ  < α,αα2 ......αν  + 1 / 10ν 
για οποιαδήποτε τιμή του ακέραιου θετικού ν επιθυμούμε

Επανερχόμαστε στο ακέραιο μέρος του χ.
Αν α το ακέραιο μέρος του χ, η σχέση α ≤ χ < α+1 δίνει αμέσως     χ-1 < α ≤  χ
Επομένως αν  χ-ψ > 1  θα είναι   ψ < χ-1  και επομένως
ψ < α < χ      αν   α < χ     ή
ψ < α-1 < χ      αν  α=χ
Αυτό σημαίνει ότι όταν   χ-ψ >1 τότε μεταξύ των χ και ψ υπάρχει ένας τουλάχιστον ακέραιος.
Προκύπτει ότι αν χ-ψ >Ν (Ν θετικός ακέραιος)  τότε μεταξύ των χ και ψ υπάρχουν Ν τουλάχιστον ακέραιοι.


Πρόταση (α)Το σώμα των πραγματικών αριθμών είναι αρχιμήδειο 
Πρόταση (β)Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών υπάρχει πάντοτε ένας ρητός και συνεπώς μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών υπάρχουν πάντοτε άπειροι ρητοί.

Έχουμε ήδη δείξει ότι το σώμα των ρητών αριθμών είναι αρχιμήδειο και φυσικά έχουμε πει τι σημαίνει ο όρος αρχιμήδειο σώμα. Θα  ξαναπούμε όμως αναλυτικά την παραπάνω πρόταση ειδικά διατυπωμένη για το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αν α, β είναι δύο οποιοιδήποτε πραγματικοί θετικοί αριθμοί, τότε για κατάλληλα μεγάλο θετικό φυσικό αριθμό Ν θα είναι            (Ν.α )>β  (1)
Γιατί αν ήταν για κάθε θετικό φυσικό αριθμό Ν,      Ν.α ≤  β,    θα ίσχυε  Ν ≤ (β/α) για κάθε φυσικό αριθμό Ν.
Αυτό όμως αντίκειται στο ότι  στους πραγματικούς αριθμούς το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο.
Η πρόταση αυτή  είχε τεθεί από τον Εύδοξο ως αξίωμα για το διευρυμένο αριθμητικό σύστημά  των αρχαίων Ελλήνων και χρησιμοποιήθηκε συστηματικά από τον Αρχιμήδη. Είναι γνωστή και ως αξίωμα του Ευδόξου και ως αξίωμα του Αρχιμήδη.
Είναι εξ άλλου ισοδύναμη  με την πρόταση 
Αν α, β είναι δύο οποιοιδήποτε πραγματικοί θετικοί αριθμοί, τότε για κατάλληλα μεγάλο θετικό φυσικό αριθμό Ν θα είναι             (β / Ν) <  α    (2)
αφου οι ανισότητες (1)  και  (2)  είναι ταυτόσημες. Με αυτή τη μορφή η πρόταση  έχει συχνότερη χρήση. Η πρόταση 1. του δεκάτου βιβλίου του Ευκλείδη προκύπτει αμέσως από αυτήν την μορφή της πρότασης.

Επανερχόμαστε στην πρώτη μορφή της πρότασης (α). Μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για να δείξουμε ότι μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών υπάρχει πάντοτε ένας ρητός αριθμός.
Πράγματι έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί με α <β 
δηλαδή   (β-α) >0 
Τότε για κατάλληλο φυσικό θετικό αριθμό Ν θα ισχύει  Ν.(β-α) >1  ή ισοδύναμα
(Ν.β - Ν.α) >1.
Αυτό όμως σημαίνει ότι μεταξύ των αριθμών (Ν.α) και (Ν.β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ακέραιος αριθμός, έστω ο μ.   Θα έχω
Ν.α <μ < Ν.β     ή ισοδύναμα          α <(μ / Ν) <β
και επομένως υπάρχει μεταξύ των α, και β ο ρητός αριθμός  (μ / Ν)
Προφανώς αν υπάρχει απαραίτητα ένας ρητός μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών , τότε μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών  υπάρχουν  άπειροι ρητοί.


ΠρότασηΚάθε πραγματικός θετικός αριθμός έχει μια θετική τετραγωνική ρίζα

Έστω Α ένας πραγματικός αριθμός. Θεωρούμε το σύνολο Σ όλων των θετικών πραγματικών αριθμών χ που το τετράγωνό τους δεν υπερβαίνει τον Α. Για όλους  τους χ του Σ και μόνον αυτούς θα ισχύει
 χ2 ≤  Α  και  χ > 0
Το Σ είναι φραγμένο  από τον αριθμό ψ= (1+Α) αφού 
(1+Α)2 = 1+ 2Α + Α2 > Α
Το Σ δεν είναι κενό. Περιλαμβάνει τον αριθμό Α / (1+Α) αφού ο    Α/ (1+Α) είναι θετικός και

η σχέση   Α<(1+Α)2,   συνεπάγεται  Α / (1+Α)2 < 1  και επομένως
Α2  / (1+Α)2 <Α
και επόμένως ο  αριθμός Α / (1+Α)   ανήκει στο Σ.

Το Σ ως άνω φραγμένο και μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα έστω τον πραγματικό αριθμό β.
Για τον αριθμό β έχω τρείς αλληλοαποκλειόμενες δυνατότητες

β2 >Α  ή  β2 <Α     ή  β2 = Α

Αν  β2 >Α, μπορώ να  βρω ένα άνω φράγμα του Σ μικρότερο από το β και αυτό αντίκειται στο ότι ο β είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του Σ.
Αρκεί φυσικά να βρω έναν  θετικό αριθμό χ τέτοιον ώστε να είναι

 (β-χ) >0  και    (β-χ)2 >Α
Προφανώς θα ισχύει τότε ότι και    0 < (β-χ) < β

Έχω  (β-χ)2 >Α  όταν   β2-2βχ + χ2 >Α
Αρκεί να είναι β2-2βχ >Α  ή    χ < (β2-Α) / 2β

 Χρειάζομαι να είναι και            0 <χ

Ο  αριθμός  (β2-Α) / 2β    είναι θετικός αριθμός επομένως οι δύο τελευταίες ανισώσεις έχουν περιοχή συναλήθευσης. Αρκεί λοιπόν να είναι  0 < χ < (β2-Α) / 2β   και συνεπώς η υπόθεση
β2 > Α        απορρίπτεται

Αν  είναι   β2 < Α 
μπορώ να βρώ εναν θετικό αριθμό χ ώστε ο αριθμός β+χ να ανήκει στο Σ και αυτό αντίκειται στο ότι ο αριθμός    β   είναι άνω φράγμα του Σ.
Αρκεί να βρω έναν θετικό αριθμό χ ώστε να είναι

 (β+χ)
2 < Α      ή        β2+2βχ + χ2  < Α

 Μπορώ να διαλέξω τον χ και μικρότερο του 1, οπότε αρκεί να έχω

 0<χ< 1  οπότε αρκεί να ίσχύει
β2 +2βχ + χ<Α    ή

 0 <χ < 1 και
χ < (Α - β
2) / (2β+1)

Καλώ τον θετικό αριθμό του δεύτερου μέλους της δεύτερης ανίσωσης γ   και τον μικρότερο από τους 1 και γ τον ονομάζω  δ. Οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν  για

  0 < χ  < δ

και συνεπώς και η  υπόθεση   β
2 < Α     απορρίπτεται

 Ισχύει επομένως η τρίτη δυνατότητα β
2 = Α  και επομένως 0 θετικός αριθμός β είναι η τετραγωνική ρίζα του Α.

Με την ίδια μέθοδο  και χρησιμοποιώντας παρόμοια επιχειρήματα, μπορεί να αποδειχθούν και παρα-πολλές άλλες προτάσεις όπως για παράδειγμα η πρόταση ότι  κάθε θετικός πραγματικός αριθμός έχει μία θετική ν-οστή ρίζα για κάθε θετικό ακέραιο ν.
Είναι όμως αποδοτικότερο να αποδειχθούν 
με βάση το αξίωμα του ελαχίστου άνω φράγματος οι βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων  και στη συνέχεια με βάση αυτές τις ιδιότητες να αποδειχθούν  οι προτάσεις που κάθε φορά μας ενδιαφέρουν.
Ο Σπίβακ (Michael Spivak) , στο βιβλίο του 
"Λογισμός", με βάση  τρία  βασικά θεωρήματα  που αφορούν τις συνεχείς συναρτήσεις  και αποδεικνύονται πρώτα ως συνέπεια της ύπαρξης ελαχίστου άνω φράγματος κάθε άνω φραγμένου συνόλου, αποδεικνύει αμέσως μετά οκτώ  σημαντικές προτάσεις1,και προσθέτει ότι
"αυτά τα  τρία θεωρήματα θα παίξουν θεμελιώδη ρόλο σχεδόν σε ο,τιδήποτε κάνουμε στη συνέχεια".


Πρόταση: Στους πραγματικούς αριθμούς περιλαμβάνονται και αριθμοί που δεν είναι ρητοί
Δείξαμε αμέσως πριν ότι για κάθε πραγματικό αριθμό Α υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός β που το τετράγωνό του ισούται με Α. Εφαρμόζοντας αυτό για Α =2 και Α = 10, βρίσκουμε ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με 2 και ένας πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με 10. Ξέρουμε όμως ότι δεν υπάρχουν ρητοί αριθμοί με αυτές τις ιδιότητες και αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.
Η ύπαρξη 
μη ρητών αριθμών είναι όμως απολύτως απαραίτητη και για την εξασφάλιση της δυνατότητας μέτρησης κάθε μεγέθους αλλά και για την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης. Αν υπήρχαν μόνο οι ρητοί αριθμοί, τότε η συνάρτηση φ(χ) = 1 / (χ3 – 5) θα είχε μη μηδενιζόμενο παρονομαστή και θα έπρεπε να είναι συνεχής παντού, και θα έπρεπε επομένως να είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα. Όμως η συνάρτηση αυτή δεν είναι φραγμένη στο διάστημα (1, 5), ακόμη και όταν ο χ  παίρνει μόνο ρητές τιμές.


Σημειώσεις

1.Ως  βασικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής αναφέρονται:
Ι. Αν η φ(χ) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και είναι φ(α) < 0 < φ(β) τότε για έναν τουλάχστον  χ  μεταξύ του α και του β η  φ(χ) μηδενίζεται.
ΙΙ. Αν η φ(χ) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] τότε είναι φραγμένη στο [α, β].
ΙΙΙ. Αν η φ(χ) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]  τότε έχει ένα τουλάχιστον σημείο ελαχίστου στο [α. β]

Οι τρεις προτάσεις συνεπάγονται αμέσως ότι μια  συνάρτηση συνεχής σε κλειστό  διάστημα έχει  και σημείο μέγιστου σε αυτό το διάστημα και ότι παίρνει κάθε τιμή μεταξύ της ελάχιστης και της μέγιστης τιμής της όταν ο χ διατρέχει αυτό το διάστημα.
Μεταξύ των προτάσεων που αποδεικνύονται αμέσως με τη βοήθεια των παραπάνω προτάσεων περιλαμβάνονται και  η πρόταση για την ύπαρξη νιοστής ρίζας πραγματικού θετικού αριθμού, η πρόταση για ύπαρξη πραγματικής ρίζας πολυωνυμικής εξίσωσης περιττού βαθμού, οι προτάσεις για την ύπαρξη μεγίστου ή ελαχίστου κατά περίπτωση πολυωνύμων άρτιου βαθμού, ο καθορισμός προυποθέσεων για την υπάρξη πραγματικής ρίζας  πολυωνυμικών εξισώσεων άρτιου βαθμού, και πολλές προτάσεις του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.


2. Η κλιμακωτή συνάρτηση  ψ(χ) = Ακ(χ) = [χ] έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες , όπως επίσης και οι συναρτήσεις 
φ(χ)= χ - [χ], 
σ(χ) = 1 + [χ] -χ   και   
f(χ)  =  min {φ(χ), σ(χ)}

Η ψ(χ) = Ακ(χ) = [χ] αποτελεί κλασσικό παράδειγμα κλιμακωτής συνάρτησης αλλά έχει εφαρμογές και στην αριθμοθεωρία. 
Στην ανάλυση του Ν! σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, ο πρώτος αριθμός p εμφανίζεται με εκθέτη Α = [N/p] + [N/p2] + [N/p3] + ......
Από κάποιον και πέρα οι προσθετέοι του δευτέρου μέλους είναι ίσοι με μηδέν.

Για τη συνάρτηση φ(χ) έχουμε φ(χ+1) = φ(χ) για κάθε χ. Ακόμη για χ που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδέν και μικρότερος του 1 έχω φ(χ) = χ

Για τη συνάρτηση σ(χ) ισχύει σ(χ) = 1 - φ(χ). Είναι σ(χ + 1) = σ(χ) και για 0 ≤  χ < 1  ισχύει σ(χ) = 1-χ

Η f (χ) είναι επίσης περιοδική με περίοδο 1 αλλά είναι και συνεχής.  Η  f (ν.χ)   όπου ο ν είναι θετικός ακέραιος, είναι επίσης συνεχής και  περιοδική αλλά με περίοδο ίση με  (1 / ν ) 

Για  0 ≤  χ  ≤  1/2  ισχύει f (χ) = χ
Για 1/2 < χ ≤ 1                             ισχύει  f (χ) = 1-χ
Η  f (χ) δεν είναι παραγωγίσιμη για ακέραιες τιμές του χ και για τιμές του χ που υπερβαίνουν ακέραιες τιμές κατα 1/2. Έχει μέγιστο ίσο προς 1/2 για χ = κ + 1/2 και ελάχιστο ίσο με μηδέν για χ = κ,  για κάθε τιμή του ακεραίου κ. Δεν έχει άλλα τοπικά ακρότατα.
Η  f (χ) περιστά την απόσταση του χ από τον πλησιέστερό του ακέραιο.

Από την συνάρτηση f(χ) κατασκευάζεται η συνάρτηση

Φ(χ) = 1. f(χ) + (0,1). f (10.χ) + (0,01).f (100.χ) + (0,001). f (1000.χ) + ...    =

= Σ [10. f(10Ν.χ)]
όπου το άθροισμα νοείται από Ν = 0  μέχρι Ν = ∞ (ο Ν παιρνει ακέραιες τιμές).

 Η συνάρτηση Φ(χ) είναι περιοδική με περίοδο ίση προς 1. 
Αποτελεί επίσης το άθροισμα μιας σειράς με όρους θετικούς  και μικρότερους από τους όρους της αριθμητικής συγκλίνουσας σειράς  Σ[10]  και επειδή και οι όροι της είναι συνεχείς , για αυτό η Φ(χ) συγκλίνει ομοιόμορφα  (κριτήριο Βάιερτρας).Είναι επομένως παντού συνεχής.
Αποδεικνύεται όμως ότι δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη. 


9.5 Η μοναδικότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών

Η μοναδικότητα  σημαίνει ότι ένα σώμα με όλες τις ιδιότητες του σώματος των πραγματικών αριθμών (σώμα διατεταγμένο και πλήρες), είναι ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών και επομένως δεν υπάρχει από μαθηματική άποψη καμμιά διαφορά αν μιλάμε για το σώμα των πραγματικών αριθμών R ή το ισόμορφό του σώμα έστω το Π. Το σχετικό θεώρημα ακολουθεί αμέσως,

Θεώρημα :  Κάθε πλήρες σώμα είναι ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών

Έχουμε δει ότι η πληρότητα προϋποθέτει διάταξη. Μιλάμε επομένως για σώμα  διατεταγμένο και πλήρες. Έχουμε δεί επίσης ότι το σώμα των ρητών αριθμών είναι το μοναδικό πρώτο σώμα και δεν είναι πλήρες. Έχουμε επίσης δεί ότι κάθε διατεταγμένο σώμα  περιλαμβάνει ένα υποσώμα ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών. Δείτε σχετικά την ενότητα
6. Ποια πρώτα σώματα υπάρχουν. - Η μοναδικότητα του σώματος των ρητών αριθμών.

Έχουμε δεί επίσης ότι το σώμα των ρητών πραγματικών αριθμών που ορίζονται ως τομές ρητών   αριθμών είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών που ορίζονται ως λόγοι ακεραίων αριθμών.
Δείτε σχετικά το εδάφιο 2. της ενότητας9.1 Το σώμα των πραγματικών αριθμών

Έστω Π ένα πλήρες  σώμα και R το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Ι. Στον κάθε πραγματικό ρητό α αντιστοιχώ τον ρητό α΄του Π που αντιστοιχεί από τον ισομορφισμό μεταξύ των ρητών του R και των ρητών του Π
Αν α, β είναι ρητοί του R και είναι  α < β   τότε θα είναι  α΄< β΄, όπου α΄, β΄ είναι οι ρητοί του Π οι αντίστοιχοι των πραγματικών ρητών α,β.   Αντίστοιχοι με βάση  τον ισομορφισμό μεταξύ των πραγματικών ρητών με τους ρητούς του Π. Θυμίζω ότι ο ισομορφισμός διατηρεί τη διάταξη.

ΙΙ. Ένας πραγματικός αριθμός α καθορίζεται με μια τομή ρητών αριθμών που καθορίζεται πλήρως από την πρώτη κλάση της τομής.  Η πρώτη κλάση αυτής της τομής αποτελείται από όλους τους ρητούς αριθμούς τους μικρότερους του πραγματικού αριθμού α. Ο α αποτελει το ελάχιστο άνω φράγμα αυτών των ρητών.
Έχουμε ότι η Ι(α)  (πρώτη κλάση της τομής που ορίζει τον α
δεν είναι κενό σύνολο
δεν περιλαμβάνει όλους τους ρητούς
δεν έχει μέγιστο στοιχείο
και αν ο ρητός ψ ανήκει στην Ι(α) και ο ρητός χ είναι μικρότερος του ψ, τότε και ο χ ανήκει στην Ι(α)

Έστω Α΄το σύνολο των ρητών του Π  που βάσει του ισομορφισμού μεταξύ των ρητών του R και των ρητών του Π, είναι αντίστοιχοι των ρητών της Ι(α).
Το Α΄δεν είναι κενό σύνολο
Το Α΄δεν  έχει μέγιστο στοιχείο (αφού λόγω του ότι ο ισομορφισμός διατηρεί  τη διάταξη, αν το Α είχε ένα μέγιστο στοιχείο το  β΄και το β΄ ήταν αντίστοιχο του στοιχείου β της Ι(α), τότε το β θα ήταν το μέγιστο στοιχείο της Ι(α), αλλά η Ι(α) δεν έχει μέγιστο στοιχείο)
Το Α΄δεν περιλαμβάνει όλους τους ρητούς του Π (αφού σε αντίθετη περίπτωση, λόγω της ισομορφίας των πραγματικών ρητών και των ρητών του Π θα περιείχε και η Ι(α) όλους τους πραγματικούς ρητούς, όπερ άτοπον)
Αν ο ρητός του Π   ψ΄ ανήκει στο Α΄και ο χ΄είναι ρητός του Π μικρότερος του ψ΄, τότε και ο χ΄ ανήκει στο Α΄.
Αυτά σημαίνουν ότι το σύνολο Α΄ καθορίζει επί του Π μια τομή της οποίας αποτελεί την πρώτη κλάση. Η τομή αυτή λόγω της πληρότητας του Π καθορίζει έναν άριθμό του Π έστω τον α΄και είναι Ι(α΄) = Α΄
Στον πραγματικό αριθμό α αντιστοιχώ τον παραπάνω α΄ του Π που η πρώτη κλάση της τομής που τον καθορίζει αποτελείται από τους ρητούς του Π που βάσει του ισομορφισμού μεταξύ των δύο συνόλων ρητών αριθμών είναι οι αντίστοιχοι των ρητών της πρώτης κλάσης του πραγματικού αριθμού α.
Είναι προφανές ότι σε κάθε στοιχείο του R αντιστοιχεί ένα στοιχείο του Π. (ΙΙ)

ΙΙΙ. Έστω α΄ ένας αριθμός του Π.
Με τον τρόπο που χρησιμοποιήσαμε στο ΙΙ μπορύμε να δείξουμε
- ότι η πρώτη κλάση της τομής που τον ορίζει αποτελείται από όλους τους ρητούς του Π τους μικρότερους του α΄
- και ότι οι αριθμοί αυτοί είναι αντίστοιχοι  όλων των ρητών που αποτελούν την πρώτη κλάση μιας τομής του R η οποία ορίζει έναν πραγματικό αριθμό έστω τον α .
Η αντιστοιχία αυτή ορίζεται από τον ισομορφισμό μεταξύ των ρητών του R και των ρητών του Π.
Αυτά σημαίνουν ότι ότι κάθε στοιχείο του Π είναι αντίστοιχο ενός στοιχείου του R. (III)

ΙV. Αν τώρα α, β είναι πραγματικοί αριθμοί και είναι α < β, και αν α΄, β΄ είναι οι αντίστοιχοί τους στο Π τότε μεταξύ των α, β υπάρχουν ρητοί του R που είναι μεγαλύτεροι από όλους τους ρητούς της πρώτης κλάσης του α και μικρότεροι από κάποιους ρητούς της πρώτης κλάσης του β.
Οι αντίστοιχοί τους ρητοί του Π θα είναι μεγαλύτεροι από όλους τους ρητούς της πρώτης κλάσης του α΄ και μικρότεροι από κάποιους ρητούς της πρώτης κλάσης του β΄.   Άρα θα είναι μεγαλύτεροι του α΄και μικρότεροι του β΄ και επομένως θα είναι  α΄< β΄.
Άρα κατά την αντιστοίχηση διατηρείται η διάταξη.  (IV.1)
Αυτά συνεπάγονται ακόμη ότι  αν είναι α β θα είναι και α΄β΄.
Το τελευταίο σημαίνει ότι με την παραπάνω αντιστοίχηση στοιχείων μεταξύ του R και στοιχείων του  Π,
σε δύο διαφορετικά στοιχεία του R αντιστοιχούν δύο διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του Π(IV.2)
Από τα συμεράσματα ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV2 προκύπτει ότι
Η αντιστοίχηση μεταξύ των στοιχείων του R και των στοιχείων του Π που ορίσαμε είναι ένα προς ένα και καλύπτει όλα τα στοιχεία των δύο συνόλων  (IV.3)

Δεδομένων του IV1 και του IV3, για να αποδείξουμε ότι η αντιστοίχησή μας καθιστά τα σώματα R και Π ισόμορφα μεταξύ τους πρέπει και αρκεί να αποδείξουμε ότι η αντιστοίχησή μας διατηρεί τις πράξεις (πρόσθεση και πολλαπλασιασμό)

V. Έστω α, β δύο αριθμοί του R, (α+β) το άθροισμά τους, α΄, β΄ οι αντίστοιχοί των α,β αριθμοί του Π και (α+β)΄ ο αριθμός του Π ο αντίστοιχος του (α+β) που είναι άθροισμα  αριθμών του R
Πρέπει να αποδείξω ότι  (α+β)΄ = α΄ + β΄
Θα αποδείξω ότι δεν μπορεί να είναι
ούτε (α+β)΄< α΄ + β΄,     ούτε    (α+β)΄ > α΄ + β΄

Έστω ότι είναι (α+β)΄ < α΄ + β΄ .
Τότε μεταξύ του (α+β)΄ και του (α΄ + β΄) θα υπάρχουν ρητοί αριθμοί του Π και έστω ρ΄ ένας από αυτούς. Θα ισχύει  (α+β)΄ < ρ΄ < α΄+ β΄
Ο ρ΄είναι αντίστοιχος ενός  ρητού αριθμού του R, έστω του ρ.  Επειδή η αντιστοίχησή μας διατηρεί τη διάταξη θα είναι   α+ β < ρ     
Θα υπάρχουν επομένως ρητοί αριθμοί του R,  ο  ρητός γ > α και  ο  ρητός   δ > β  για τους οποίους ισχύει
γ + δ = ρ    και επομένως   (γ + δ)΄ = ρ΄ < α΄ + β΄  (1) 
Θα είναι όμως   α΄+ β΄ < γ΄+ δ΄ αφού ισχύει
α΄< γ΄   και  β΄ < δ΄
Επειδή επιπλέον οι γ και δ είναι ρητοί και η αντιστοίχησή μας είναι αντιστοίχηση ισομορφισμού μεταξύ των ρητών αριθμών  του R και του Π , η αντιστοίχησή μας διατηρεί και τις πράξεις μεταξύ ρητών και επομένως
ρ΄ = (γ+δ)΄=  γ΄ + δ΄ > α΄+ β΄  (2)
Οι σχέσεις (1) και (2) αντιφάσκουν και επομένως δεν μπορεί να ισχύει  (α+β)΄ <  α΄+ β΄
Ομοίως βρίσκουμε ότι δεν μπορεί να ισχύει  (α+β)΄ >  α΄+ β΄ 
Ισχύει επομένως ότι   (α+β)΄ =  α΄+ β΄
Ότι δηλαδή η αντιστοίχησή μας  διατηρεί την πράξη της πρόσθεσης. (V.1)

Για τον πολλαπλασιασμό αποδεικνύουμε πρώτα ότι
(α.β)΄ = α΄.β΄         όταν α > 0  και β > 0
με τον ίδιο τρόπο που αποδείξαμε ότι  (α+β)΄ = α΄ + β΄

Για τις άλλες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι 
α.β = - ǀ α ǀ.ǀ β ǀ     αν ο ένας από τους α, β είναι αρνητικός και ο άλλος  θετικός και
α.β =   ǀ α ǀ.ǀ β ǀ     σε όλες τις άλλες περιπτώσεις και ακόμη ότι
1. Tο ίδιο ισχύει για το γινόμενο α΄.β΄           
2. Οι α΄, β΄  είναι αρνητικοί ή θετικοί αριθμοί του Π όταν αντιστοίχως οι α, β είναι αρνητικοί ή θετικοί αριθμοί του R.
3. Είναι α΄= 0  του Π  όταν και μόνο όταν  α = 0 του R   και το ίδιο ισχύει για τους β΄ και β αφού η αντιστοίχησή μας διατηρεί τη διάταξη  (IV.1)
Διαπιστώνουμε ότι η αντιστοίχησή μας  διατηρεί την πράξη του πολλαπλασιασμού (V.2)

Τα συμπεράσματα  IV.3,     IV.1,   V.1    και  V.2   βεβαιώνουν ότι η αντιστοίχησή μας καθιστά τα πλήρη σώματα R και  Π  ισόμορφα ή αλλιώς ότι το όποιο πλήρες  σώμα Π είναι ισόμορφο με το σώμα R των πραγματικών αριθμών. Το θεώρημα αποδείχθηκε.
Μερικές παρατηρήσεις
1. Γιά το σύνολο Π υποτέθηκε μόνο ότι αποτελεί πλήρες σώμα. Καμμιά άλλη προϋπόθεση δεν ετέθη.
2. Η απόδειξη βασίστηκε στο ότι:
- Κάθε πλήρες σώμα είναι διατεταγμένο σώμα (Το Π υποτέθηκε πλήρες σώμα).
- Κάθε διατεταγμένο σώμα περιέχει ένα σώμα ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών
-Δύο σώματα ρητών αριθμών είναι μεταξύ τους ισόμορφα
3. Αυτό που κάναμε για να φθάσουμε σε συμπέρασμα είναι ότι μέσω κατάλληλης αντιστοίχησης διατηρήσαμε και επεκτείναμε την ισομορφία μεταξύ των ρητών αριθμών του R και των ρητών αριθμών  του Π ώστε να αφορά όλα τα στοιχεία τους και να προκύψει ισομορφία μεταξύ των σωμάτων R και Π.
Αυτό κατέστη δυνατό επειδή όλα τα στοιχεία των σωμάτων R και Π κατασκευάζονται από τα ρητά τους στοιχεία με τον ίδιο τρόπο
4. Η ισομορφία μεταξύ των σωμάτων ρητών αριθμών είναι αποτέλεσμα του κοινού τρόπου με τον οποίο  «κατασκευάζονται» τα στοιχεία τους,  ουσιαστικά από τα ουδέτερα στοιχεία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
Στο 0  των ρητών του R  αντιστοιχείται το                                   0΄                      των ρητών του Π
Στο 1  των ρητών του R  αντιστοιχείται το                                   1΄
Στο 1+1  των ρητών του R   αντιστοιχείται το                              1΄+1΄
Στο 1+1+1  των ρητών του R   αντιστοιχείται το                          1΄+1΄+1΄
Στο (1+1+ ...+1) = ν.1 = ν  των ρητών του R   αντιστοιχείται το  ν.1΄=ν΄
Όπου το άθροισμα περιλαμβάνει  ν προσθετέους
Στο μ.1 / ν.1 = μ/ν,  ν ≠ 0, των ρητών του R   αντιστοιχείται το    μ.1΄/ν.1΄= μ΄/ν΄
Στον –μ / ν  του R αντιστοιχείται ο  - μ΄/ν΄ του Π
Τα παραπάνω επεκτείνονται σε πλήρη σώματα ως εξής:
Σε μια τομή του R που κατασκευάζεται με διαμερισμό των ρητών του R σε δύο κλάσεις, αντιστοιχείται με μία τομή των ρητών του Π σε δύο κλάσεις  έτσι ώστε οι ρητοί της πρώτης κλάσης της τομής του Π να είναι οι αντίστοιχοι ένας προς ένα, των ρητών της πρώτης κλάσης της τομής του R.
Στον πραγματικό αριθμό α που ορίζει  μια τομή των ρητών του R αντιστοιχείται ο αριθμός α΄ του Π που καθορίζεται από την αντίστοιχη τομή των ρητών του Π.

Είναι διαισθητικά φανερό ότι το πλήρες σώμα Π μπορεί να ταυτισθεί με το σώμα των πραγματικών  αριθμών. Αυτό το αποδείξαμε βήμα προς βήμα πλήρως. 



11. Οι πραγματικοί αριθμοί ως πλήρες και διατεταγμένο σώμα

11.1 Η ύπαρξη  νιοστής ρίζας

Εδώ θα παρουσιάσουμε σημαντικές για την ανάπτυξη των μαθηματικών προτάσεις που απορρέουν από την πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Σε μια συνήθη παρουσίαση του μαθηματικού λογισμού (με αξιωματική παραδοχή της ύπαρξης των πραγματικών αριθμών), εμφανίζονται ως συνέπεια ενός αξιώματος για την ύπαρξη ελάχιστου άνω φράγματος των άνω φραγμένων υποσυνόλων του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Πρόταση 1:   Αν ο Α είναι πραγματικός θετικός αριθμός και ο ν ακέραιος θετικός αριθμός, τότε υπάρχει ένας πραγματικός θετικός αριθμός α  για τον οποίο ισχύει αν = Α

Για να το αποδείξουμε σχηματίζουμε μια τομή  των πραγματικών αριθμών ως εξής.
Τοποθετούμε στην κλάση Ι
όλους τους αρνητικούς αριθμούς, το μηδέν και όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει    χν < Α.  
Αν  ψ  θετικός και ψ < χ  τότε και  ψν < χν < Α  και ο ψ επίσης ανήκει στην κλάση Ι.
Αν  ο ζ είναι θετικός και  ζ <  [Α-Ακ(Α) +1] / Ν όπου Ν θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 1,  τότε για κατάλληλα μεγάλο Ν  είναι  ζ <  1    και  ζ<Α  και επομένως και ζ ν < Α  και ο ζ ανήκει και αυτός στην κλάση Ι .Άρα η κλάση Ι περιλαμβάνει και θετικούς αριθμούς. Αυτό δεν ήταν απαραίτητο να δειχθεί, αφού χρειαζόμαστε μόνο το να μην είναι κενή η κλάση Ι και αυτό είχε ήδη εξασφαλισθεί. Θέλω όμως να μη δημιουργούνται αμφιβολίες.

Στην κλάση ΙΙ τοποθετούμε όλους τους υπόλοιπους πραγματικούς θετικούς αριθμούς. Αυτοί δεν είναι μικρότεροι από κανέναν αριθμό της Ι αφού τότε θα ανήκαν στην κλάση Ι και φυσικά δεν είναι ίσοι με κανέναν αριθμό της Ι, άρα είναι μεγαλύτεροι από όλους τους αριθμούς της Ι. Μεταξύ τους και ο Χ= (Α+1)  αφού  (Α+1)ν > (Α+1) > Α  και επομένως Χ > χ αν ο θετικός χ ανήκει στην κλάση Ι.
Οι δύο κλάσεις Ι και ΙΙ, δεν είναι κενές, κάθε αριθμός  της πρώτης είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της δεύτερης και οι δύο μαζί συναπαρτίζουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Για να αποτελούν τομή πρέπει να αποδείξουμε ότι η πρώτη δεν έχει μέγιστο στοιχείο δηλαδή ότι από κάθε αριθμό της πρώτης κλάσης υπάρχει στην πρώτη κλάση μεγαλύτερος του αριθμός.

Έστω β αριθμός της πρώτης κλάσης. Αν είναι αρνητικός ή μηδέν υπάρχουν μεγαλύτεροι του θετικοί αριθμοί. Αν είναι θετικός πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχει χ θετικός ούτως ώστε ο β+χ να ανήκει στην πρώτη κλάση. Θα αναζητησουμε χ θετικούς και μικρότερους του 1.

Έχουμε   βν < Α.
(β+χ)ν – βν =  χ .[(β+χ)ν-1 + (β+χ)ν-2.β + ….  + (β+χ).βν-2 + βν-1 ]  <  χ. ν. (β+1)ν-1

αφού  β+χ < β+1,   β < β+1    και β, χ θετικοί.  Έτσι έχουμε

(β+χ)ν < βν + χ. ν. (β+1)ν-1
και για να είναι  (β+χ)ν < Α   για χ θετικό και μικρότερο του 1 αρκεί να είναι
χ. ν. (β+1)ν-1 < (Α - βν)  και
χ <  (Α - βν) /[ ν. (β+1)ν-1]     Είναι (Α - βν) > 0 

Αν  γ > 0   είναι ο ελάχιστος από τους αριθμούς
1 και (Α - βν) /[ ν. (β+1)ν-1]
αρκεί ο χ να ικανοποιεί τη σχέση  0 < χ < γ

Η κλάση Ι επομένως δεν έχει μέγιστο στοιχείο και οι κλασεις Ι και ΙΙ δίνουν μια τομή όλων των πραγματικών αριθμών.
Η τομή ορίζει έναν πραγματικό αριθμό έστω τον α, μεγαλύτερο από κάθε αριθμό της κλάσης Ι και μικρότερο από κάθε άλλον αριθμό της κλάσης ΙΙ. Λέω ότι  αν  =  Α.
Γιατί υπάρχουν εν γένει τρεις δυνατότητες
αν  >  Α ,   
αν  =  Α ,      και
αν  < Α

Η τελευτάια σχέση αποκλείεται γιατι τότε ο α θα ανήκε στην κλάση Ι που δεν μπορεί να έχει μέγιστο στοιχείο.
Αν αποδείξω ότι αποκλείεται και η πρώτη σχέση τότε αναγκαστικά θα ισχύει αν  =  Α

Αν  αν  > Α   και        χ  θετικός πραγματικός αριθμός μικρότερος του α   τότε
0 < α-χ < α   (1)
Θα δείξω ότι υπάρχουν τιμές του  χ  που ικανοποιούν την (1)  για τις οποίες ισχύει
(α-χ)ν  > α    και επομένως ότι ο (α-χ) ανήκει στην κλάση ΙΙ
αυτό όμως αντίκειται στην υπόθεση ότι ο α είναι μικρότερος από όλους τους άλλους αριθμούς της κλάσης ΙΙ.
Έχω
αν - (α-χ)ν =  χ. ν-1 + αν-2.(α-χ) + ….  + α.(α-χ)ν-2 + (α-χ)ν-1 ]  <  χ.ν.αν-1
αφού
0 < α-χ < α
΄Ετσι
αν – χ.ν.αν-1 < (α-χ)ν
και για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν χ θετικοί και μικρότεροι του α για τους οποιίους είναι  (α-χ)ν> Α  αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν χ θετικοί και μικρότεροι του α για τους οποιίους είναι
αν – χ.ν.αν-1 > Α
Αυτό συμβαίνει όταν ο  χ  ικανοποιεί και τη σχέση
χ < (αν – Α) / ν.αν-1

Άρα όταν  0 < χ < α   και  χ < (αν – Α) / ν.αν-1
Τότε ισχύει  (α-χ)ν > Α     και
(α-χ) > 0
και ο (α-χ) ανήκει στην κλάση ΙΙ της τομής όπερ άτοπον.

Οι  δύο παραπάνω ανισότητες συναληθεύουν για
0 < χ < δ  
όπου δ ο μικρότερος μεταξύ των αριθμών α και (αν – Α) / ν.αν-1
Είναι και οι δύο θετικοί. Και αν είναι αν > Α
τότε για 0 < χ < δ  θα ισχύει ό τι ο αριθμός (α-χ) θα ανήκρι στην κλάση ΙΙ 
και αυτό είπαμε είναι άτοπο.
Δεν μπορεί να είναι ούτε  αν > Α 
Ισχύει αναγκαστικά  αν= Α 


Ρητός αριθμός α που να ικανοποιεί τη σχέση  αν=Α  , δεν υπάρχει πάντοτε ακόμη και αν ο Α είναι θετικός ρητός ή και θετικός ακέραιος . Ξέρουμε μάλιστα ότι αν ο Α είναι ακέραιος και δεν υπάρχει ακέραιος χ για τον οποίο ισχύει σχέση  χν=Α,
τότε δεν υπάρχει ούτε ρητός που ικανοποιεί αυτήν τη σχέση. Έτσι επειδή
17 = 1    και  27 = 128      η εξίσωση
χ7 =Α 
δεν έχει ρητή λύση για      2 ≤ Α ≤ 127   .
Έχει όμως πάντοτε πραγματική λύση που όταν δεν είναι ρητός είναι άρρητος αριθμός.

Ένα άλλο θέμα είναι ότι η πρόταση θα μπορούσε να αποδειχθεί με βάση το θεώρημα υπάρξης ελαχίστου άνω φράγματος για άνω φραγμένα σύνολα. Η μέθοδος θα ήταν παρόμοια και οι συσκολίες επίσης παρόμοιες. Στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε κυρίως αυτό το θεώρημα. Η χρήση του κάνει  πιο απλές τις διατυπώσεις.


11.2 Η σύγκλιση μονότονων και φραγμένων ακολουθιών

Πρόταση 2:  
Αν η ακολουθία πραγματικών εν γένει αριθμών {αν }  είναι αύξουσα και άνω φραγμένη τότε συγκλίνει στο ελάχιστο άνω φράγμα της.
Αν η ακολουθία  {αν }  είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη τότε συγκλίνει στο μέγιστο κάτω φράγμα της.

Θα αποδείξουμε το πρώτο μέρος της πρότασης.

Αύξουσα  ακολουθία σημαίνει  αν  ≤  αν+1   για κάθε θετικό ακέραιο ν. Έστω α  το ελάχιστο άνω φράγμα της. Αν  ε  είναι αυθαίρετος θετικός αριθμός(οσοδήποτε μικρός) τότε υπάρχει θετικός ακέραιος Ν ούτως ώστε   αΝ  > (α-ε)  αφού διαφορετικά δεν θα ήταν ο  α  το ελάχιστο άνω φράγμα της ακολουθίας. Επειδή όμως η ακολουθία είναι αύξουσα θα ισχύει και  για κάθε ν > Ν ότι   αν  >  α –ε.   Είναι και  αν  < α.  Επομένως

α-ε  <  αν  < α  ή
-ε  < αν – α  < 0      για κάθε   ν > Ν   
και αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.
Για παράδειγμα αν
α1= 21/2    και   αν+1 = (2.αν)1/2    τότε
αν < 2,    αν  < αν+1        και  η   αν συγκλίνει στο ελάχιστο άνω φράγμα της. 
Εξισώνοντας τα όρια των δύο μελών της  εξίσωσης αν+1 = (2.αν)1/2    και θέτοντας 
οραν+1 = ορ.αν = χ
βρίσκω  χ = (2.χ)1/2    και  χ = 2.  Το 2 είναι και το ελάχιστο άνω φράγμα της     της αν .


Ας σημειωθεί ότι η πρόταση 2 δεν ισχύει στο σώμα των ρητών αριθμών γιατί το ελάχιστο άνω φράγμα ενός άνω φραγμένου ή το μέγιστο κάτω φράγμα ενός κάτω φραγμένου συνόλου, έστω και συνόλου μόνο ρητών αριθμών, μπορεί να είναι άρρητος πραγματικός αριθμός.
Παράδειγμα:
Αν  α1= θ    και  αν+1 = (1/2). (αν + α / αν )
όπου α, θ είναι θετικοί ρητοί αριθμοί και  θ2 >α
τότε
Η  {αν } είναι κάτω φραγμένη [αν  ≥  α(1/2) ] (αριθμητικός μέσος μεγαλύτερος ή ίσος του μέσου γεωμετρικού), και φθίνουσα ακολουθία ρητών αριθμών.
Το μέγιστο κάτω φράγμα της είναι ο αριθμός  α(1/2) και είναι άρρητος για πλήθος τιμών του θετικού ρητού α και έτσι το μέγιστο κάτω φράγμα δεν υπάρχει πάντα αν περιοριστούμε στο σώμα των ρητών αριθμών.
Το  όριο της ακολουθίας  είναι επίσης α(1/2) .



11.3 Το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων και το αντίστροφό του


Πρόταση 3.  Αν  {Ιν}  είναι  μια άπειρη ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων [αν  βν ] πραγματικών αριθμών τότε η τομή όλων αυτών των κλειστών διαστημάτων περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο (πραγματικό αριθμό). Αν επιπλέον   η ακολουθία {βν – αν} έχει όριο το μηδέν,  τότε η τομή όλων των Ιν περιέχει ακριβώς έναν  πραγματικό αριθμό.

Ακολουθία εγκιβωτισμένων διαστημάτων πραγματικών αριθμών πραγματικών αριθμών σημαίνει ακολουθία διαστημάτων κάθε ένα από τα οποία είναι γνήσιο υποδιάστημα του προηγουμένου του.
Το εγκιβωτισμένα εξασφαλίζει επομένως ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αν , βν είναι και άνω φραγμένο και κάτω φραγμένο. Το ότι η ακολουθία {βν – αν} έχει όριο το μηδέν σημαίνει ότι οι ακολουθίες αν  και βν  τείνουν να συμπέσουν και επομένως τα άκρα των διαστημάτων που ορίζουν τείνουν να συμπέσουν. Ας δούμε την απόδειξη   

Αν  Ιν  =  [αν  βν]    και  Ιν+1  =  [αν+1  βν+1]  τότε      αν  < βν  για κάθε ν.
Και επειδή όλα τα στοιχεία του Ιν+1  ανήκουν και στο  Ιν ,  ισχύει ακόμη ότι
αν  ≤ αν+1      βν+1 ≤ βν   για κάθε ν  και δεν μπορεί να ισχύει  το = και στις δύο σχέσεις,  αφού το Ιν+1 είναι γνήσιο  υποσύνολο του Ιν.  
Ισχύει ακόμη  αν < βν  ≤  β1   για κάθε ν.
Επομένως η ακολουθία  {αν} είναι αύξουσα (όχι κατ’ ανάγκην γνησίως αύξουσα) και άνω φραγμένη και επομένως συγκλίνει στο ελάχιστο άνω φράγμα της έστω τον πραγματικό αριθμό χ.  Ισχύει 
αν  ≤  χ    για κάθε ν  αφού ο χ είναι άνω φράγμα της αν και
χ   ≤  βν   για κάθε ν   αφού ο χ είναι το ελάχιστο  άνω φράγμα  της αν, και κάθε  βν αποτελεί άνω φράγμα της.
Έτσι προκύπτει ότι
αν  ≤  χ  ≤  βν      για κάθε ν,   και  επομένως ο χ ανήκει σε όλα τα [αν  βν] .  
Άρα η τομή τους  περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο.

Αν τώρα ισχύει και ότι η ακολουθία  {βνν} έχει όριο τον αριθμό 0 δεν  μπορεί να έχουν άλλο κοινό στοιχείο. Γιατί αν
ζ πραγματικός και ζ ≠ χ  και ανήκει και ο ζ  σε όλα τα [αν  βν ]  τότε θα είχαμε
νν) > | ζ-χ | = ρ > 0    για κάθε ν, και αυτό αντίκειται στο ότι  η ακολουθία { βνν} είναι μηδενική.
Ας σημειωθεί ότι στην περίπτωση που  η  { βνν} είναι μηδενική, έχουμε όριο  βν= όριο αν = χ.  

Ας σημειωθεί ότι η πρόταση  δεν ισχύει αν περιορισθούμε στους ρητούς αριθμούς, γιατί ακόμη και αν περιορισθούμε μόνο σε κλειστά διαστήματα με άκρα ρητούς αριθμούς,  μπορεί το κοινό στοιχείο όλων των Ιν να μην είναι ρητός αριθμός. Ένα απλό παράδειγμα.
Αν  αν  είναι η ρητή προσέγγιση του π με ν δεκαδικά ψηφία και κατ’ έλλειψιν, και βν  είναι η ρητή προσέγγιση του π  καθ’ υπεροχήν με ν επίσης δεκαδικά ψηφία , το κοινό όριο των ακολουθιών  {αν}  και {βν}  θα είναι ο αριθμός π που είναι υπερβατικός άρρητος αριθμός.

Πρέπει να σημειώθεί ότι ανάλογο θεώρημα ισχύει και για άπειρη ακολουθία  εγκιβωτισμένωνκλειστών και φραγμένων συνόλων Κν, που τα στοιχεία τους είναι διατεταμένες  νι-πλέτες  ( χ1, χ2, ….. , χν )  πραγματικών αριθμών ή αλλιώς «σημεία» του νι-διάστατου πραγματικού χώρου.
Εγκιβωτισμένα σημαίνει ότι το Κν+1 είναι γνήσιο υποσύνολο του Κν για κάθε ν
Κλειστά σημαίνει ότι περιέχουν όλα τα  στοιχεία συσωρεύσεως στοιχείων τους.
Στοιχείο συσώρευσης ενός συνόλου Α είναι κάθε στοιχείο Χ που σε οποιαδήποτε περιοχή του (οσοδήποτε μικρή), υπάρχουν στοιχεία του Α διαφορετικά από το Χ. Το ίδιο το στοιχείο Χ μπορεί εν γένει να ανήκει ή να μην ανήκει στο Α. Εύκολα προκύπτει ότι σε κάθε περιοχή ενός στοιχείου συσωρεύσεως του όποιου συνόλου Α υπάρχουν άπειρα στοιχεία του Α .
Φραγμένα σημαίνει  ότι όλα τα στοιχεία τους απέχουν από κάποιο σταθερό σημείο (από το σημείο της κοινής αρχής των αξόνων για παράδειγμα), απόσταση μικρότερη από το μήκος ρ ενός συγκεκριμένου ευθύγραμμου τμήματος του νι-διάστατου χώρου
Η ανάλογη πρόταση  λέει ότι
 η τομή όλων των παραπάνω  απείρου αλλά αριθμήσιμου πλήθους  κλειστών  και φραγμένων συνόλων του  νι-διάστατου χώρου (δηλαδή όλων των Κν), δεν είναι κενό σύνολο. Πιο συγκεκριμένα περιλαμβάνει ένα τουλάχιστον στοιχείο που αποτελεί σημείο συσσώρευσης αλλά ως εκ τούτου και στοιχείο κάθε ενός από τα Κν 
Αν επιπλέον η «διάμετρος» των Κν τείνει στο μηδέν όταν ο ν τείνει στο άπειρο, τότε
η τομή όλων των παραπάνω  απείρου αλλά αριθμήσιμου πλήθους  συνόλων του  νι-διάστατου χώρου (δηλαδή όλων των Κν) περιλαμβάνει ακριβώς ένα στοιχείο που αποτελεί και σημείο συσσώρευσης όλων των Κν
Η πρόταση αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην ανάπτυξη της θεωρίας συναρτήσεων πολλών πραγματικών μεταβλητών.
Επαναλαμβάνω ότι δεν ισχύει αν περιορισθούμε στο σύνολο των ρητών σημείων ενός πολυδιάστατου χώρου.
Στην περίπτωση του νι-διάστατου χώρου (ν > 1), η απόδειξη βασίζεται στο ότι τα σύνολα περιέχουν ως κλειστά όλα τα σημεία συσσώρευσης στοιχείων τους


Πρόταση 3α.
  
Αν σε  ένα διατεταγμένο σώμα Σ ισχύουν τα ακόλουθα
(i)  Η αρχιμήδεια ιδιότητα  (αν α, β είναι θετικοί αριθμοί τότε υπάρχουν πάντοτε στο Σ κατάλληλα μεγάλοι θετικοί ακέραιοι Ν για τους οποίους ισχύει   Ν.α > β)
(ii)   Αν {Ιν}  είναι  μια άπειρη ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων [αν  βν ] αριθμών του Σ τότε η τομή όλων αυτών των  διαστημάτων περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του,   
τότε
το σώμα Σ είναι και πλήρες και επομένως ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών

Για να δείξουμε ότι το σώμα Σ είναι πλήρες πρέπει να δείξουμε ότι για κάθε τομή στο  Σ υπάρχει ένα στοιχείο του Σ μεγαλύτερο από όλα τα στοιχεία τής κλάσης Ι της τομής και μικρότερο από όλα τα στοιχεία της κλάσης ΙΙ τηςτομής.
Έστω Α ένα στοιχείο της κλάσης Ι και Β ένα στοιχείο της κλάσης ΙΙ της τομής. Είναι  Α< Β (κατά τη διάταξη στο Σ).

 Θέτω  Α= α1    και   Β = β. Ο α1 ανήκει στην κλάση Ι και ο β1  ανήκει στην κλάση ΙΙ της τομής.
Διαιρώ το κλειστό διάστημα [α1, β1] σε δύο ίσα τμήματα.  Αν το  σημείο διαχωρισμού των δύο τμημάτων ανήκει  στην κλάση Ι καλώ  [α2, β2] το δεύτερο από τα δύο διαστήματα, αν το σημείο διαχωρισμού ανήκει στην κλάση ΙΙ καλώ  [α2, β2], το πρώτο από τα δύο διαστήματα. Έχω ότι το [α2, β2] είναι πάντοτε υποδιάστημα του
1, β1] και ότι
β2=  (β11) /2
Και
 ότι ο α2 ανήκει στην κλάση Ι της τομής  ενώ ο β2 ανήκει στην κλάση ΙΙ.
Συνεχίζω διαιρώντας το  [α2, β2] σε δύο ίσα τμήματα και επιλέγοντας το ένα από αυτά ως [α3, β3]  με τη διαδικασία που ακολούθησα για την επιλογή του [α2, β2]., κ.ο.κ. επ’ άπειρον.
Σχηματίζω έτσι μια άπειρη ακολουθία
1, β1],  [α2, β2], …….. [αν, βν], ……..  κλειστών εγκιβωτισμένων διαστημάτων. Η τομή τους δεν είναι κενό σύνολο. Περιλαμβάνει ένα τουλάχιστον στοιχείο.
Έχω ότι για κάθε ν ο αν ανήκει στην κλάση Ι και ο βν στην κλάση ΙΙ της τομής.
Έχω ακόμη ότι η ακολουθία (βν- αν) =  (β11) /2ν είναι μηδενική ακολουθία.
Επομένως η τομή όλων των διαστημάτων [ακ, βκ], της άπειρης ακολουθίας κλειστών εγκιβωτισμένων διαστημάτων δεν μπορεί να περιέχει δύο ή περισσότερα στοιχεία γιατί αν περιείχε τον  αριθμό χ και τον αριθμό ψ θα ήταν  βν- αν >| ψ - χ |  για κάθε ν  και αυτό αντίκειται στο ότι η ακολουθία (βν- αν) είναι μηδενική.
Περιέχει επομένως ακριβώς ένα στοιχείο του Σ έστω τον αριθμό χ.
Ο χ ανήκει σε κάθε ένα από τα διαστήματα  [αν, βν] και επομένως  ισχύει
αν ≤  χ  ≤ βν

Δεν μπορεί όμως αριθμός της κλάσης Ι της τομής να είναι μεγαλύτερος από τον χ  , γιατί αν υπήρχε και ήταν έστω ο ψ θα ίσχυε
Για κάθε ν
αν ≤ χ < ψ < βν
αφού οι  βν ανήκουν στην κλάση ΙΙ της τομής.
Αυτό όμως θα σήμαινε ότι 
βν- αν  ≥  ψ- χ  για κάθε ν
και αυτό αντίκειται  στο ότι η ακολουθία  (βν- αν) =  (β11) /2ν είναι μηδενική ακολουθία.
Επομένως για κάθε ψ που ανήκει στην κλάση Ι της τομής θα ισχύει
ψ ≤  χ
Αλλά δεν θα μπορούσε να είναι ούτε ψ = χ για κάποιον αριθμό ψ γιατί τότε θα υπήρχε στην κλάση Ι αριθμός 
ψ΄> ψ = χ και αυτό δείξαμε ότι δεν μπορεί να συμβαίνει.
Επίσης δεν μπορεί να υπάρχει αριθμός της κλάσης ΙΙ μικρότερος  του χ γιατί αν υπήρχε και ήταν  έστω ο ζ θα ίσχυε
αν < ζ < χ ≤  βν  για κάθε ν  που σημαίνει 
βν- αν  > χ - ζ  για κάθε ν
και αυτό επίσης αντίκειται  στο ότι η ακολουθία  (βν- αν) είναι μηδενική ακολουθία.
Επομένως για κάθε ζ που ανήκει στην κλάση ΙΙ της τομής θα ισχύει
χ ≤  ζ
Ο χ είναι επομένως μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της κλάσης Ι και μικρότερος από κάθε άλλον αριθμό της κλάσης ΙΙ της τομής.  
Όλα καλά, αλλά δεν φαίνεται  πού χρησιμοποιήσαμε την Αρχιμήδεια ιδιότητα του Σ. Όμως την χρησιμοποιήσαμε. Τη χρησιμοποιήσαμε για να φτάσουμε στο ότι η ακολουθία   (β11) /2ν  είναι μηδενική ακολουθία, ότι δηλαδή ο αριθμός  (β11) /2ν  γίνεται για κατάλληλα μεγάλες τιμές του ν, μικρότερος από τον οποιοδήποτε θετικό αριθμό ε ή αλλιώς ότι ο αριθμός 2ν.ε γίνεται μεγαλύτερος του (β11) για κατάλληλα μεγάλη τιμή του ν.  Ισχύει όμως 2ν.ε > ν.ε  (μπορούμε να το αποδείξουμε
δείχνοντας με πολύ απλά μέσα, με επαγωγή κατά προτίμηση, ότι  2ν  > ν), και η αρχιμήδεια ιδιότητα λέει ότι  ο ν.ε μπορεί για κατάλληλα μεγάλες τιμές του ν, γίνεται μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό του Σ και επομένως και από τον αριθμό  (β11). 

11.4 Δεύτερος τρόπος πλήρωσης του συνόλου των ρητών αριθμών

Αυτό που μόλις δείξαμε μας δίνει έναν δεύτερο τρόπο να επεκτείνουμε το σώμα των ρητών αριθμών  και να δημιουργήσουμε ένα πλήρες σώμα. Φυσικά θα ξανακατασκευάσουμε τους πραγματικούς αριθμούς αφού όπως έχουμε δείξει, κάθε πλήρες σώμα είναι ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών.
Για να κατασκευάσουμε τους πραγματικούς αριθμούς ορίζουμε  ότι κάθε πραγματικός αριθμός καθορίζεται  από έναν ακέραιο  και μια άπειρη ακολουθία δεκαδικών ψηφίων που δεν είναι όλα από κάποιο και έπειτα ίσα με 9.
Τον πραγματικό αριθμό που αντιστοιχεί σε μια τέτοια άπειρη ακολουθία ψηφίων  τον ορίζουμε ως  το κοινό στοιχείο  των διαστημάτων μιας ακολουθίας Ιν εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων [αν βν] ρητών αριθμών  με τον αν να ισούται με τον ρητό που γράφεται  με τον ακέραιο  και τα ν πρώτα δεκαδικά ψηφία του αριθμού, και τον βν να ισούται με αν + 1 /10ν.   
Προφανώς έχουμε  ότι η ακολουθία (βνν) = 1/10ν είναι μια ακολουθία ρητών αριθμών και συγκλίνει προς τον ρητό αριθμό 0. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι αρχιμήδειο και επομένως δεν χρειάζεται εδώ να προσθέσουμε κάποιο σχετικό αξίωμα. Η ακολουθία (βνν) είναι μηδενική και έτσι το μονοσήμαντο του όποιου κοινού στοιχείου των Ιν εξασφαλίζεται.
Δεν εξασφαλίζεται όμως ή ύπαρξη. Το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων δεν ισχύει στο σύνολο των ρητών αριθμών.
Θέτουμε ως πρόσθετο αξίωμα ότι
υπάρχουν αριθμοί πέρα από τους ρητούς που μαζί με τους ρητούς συνιστούν ένα νέο διευρυμένο σύνολο αριθμών που εδώ θα το συμβολίζουμε Π.
Θέτουμε ως αξίωμα επίσης ότι
η τομή όλων των διαστημάτων κάθε άπειρης ακολουθίας κλειστών και εγκιβωτισμένων διαστημάτων ρητών αριθμών που οι διαφορές (βνν των (ρητών) άκρων των διαστημάτων της συνιστούν μηδενική ακολουθία, περιέχει ακριβώς ένα  στοιχείο του Π που μπορεί ανάλογα με την περίπτωση να είναι ή να μην είναι ρητός αριθμός.

Για παράδείγμα  έχουμε 21/2 =  1,4142……=   το μοναδικό στοιχείο της τομής των { [1,4  1,5],  [1,41 1,42],  [1,414   1,145],  [1,4142   1,4143], …….. }
Αν στην αρχή για κάποια περιορισμένα ως προς το πλήθος διαστήματα  είναι αν = 0  ή  βν = 0, τα διαστήματα αυτά παραλείπονται. Ο αριθμός χ που ορίζεται ικανοποιεί  τις σχέσεις 

αν  ≤  χ  ≤   βν    για κάθε ν 

και επομένως στην οποιαδήποτε περιοχή του χ περιέχονται άπειροι ρητοί αριθμοί. Ακόμη ο αν και ο  βν    υπολείπονται του χ ή υπερβαίνουν τον χ ,  λιγότερο από   1/10ν   για κάθε ν 
Είναι προφανές ότι ένας θετικός ρητός αριθμός μπορεί να παρασταθεί ως θετικός αριθμός του Π και ένας αρνητικός ρητός αριθμός ως ένας αρνητικός αριθμός του Π.  Έτσι το Π μπορεί να διαταχθεί με διάταξη που διατηρεί τη διάταξη των ρητών αριθμών. Ένας θετικός αριθμός χ  του Π είναι  μεγαλύτερος ενός θετικού αριθμού ψ του Π αν έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος ή έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος και τα ίδια πρώτα δεκαδικά τους ψηφία μέχρι κάποιο, το μιοστό ας πούμε, ενώ το επόμενο δεκαδικό ψηφίο του χ είναι μεγαλύτερο από το επόμενο δεκαδικό ψηφίο του ψ. 
Έτσι έχουμε ο ρητός 1,415 = 1,4150000….. του Π   > 21/2  ενώ
Ο ρητός 1,414 =1,414000…..  του Π  < 21/2

Το Π περιλαμβάνει με αυτόν τον τρόπο κάθε ρητό και ειδικά τον ρητό 0, και τον ρητό 1.
Περιλαμβάνει και τον αντίθετο κάθε στοιχείου του. Αν ο χ είναι στοιχείο που ανήκει στο διάστημα  [αν   βν]  ο –χ ανήκει στο [-βν   ν] για κάθε ν
Υπάρχει και ο αντίστροφος κάθε αριθμού του Π εκτός του 0. Αν ο θετικός  αριθμός χ περιλαμβάνεται στο διάστημα [αν   βν] , ο αντίστροφός του περιλαμβάνεται στο διάστημα
[ 1/βν  1/αν ] για κάθε ν.      Είναι    (1/βν - 1/αν) = (βν ν) /(βν . αν)  <  (βν ν) /(α1)2  
που είναι μηδενική ακολουθία.
Εδώ  θυμίζουμε ότι:
- δεν κρατάμε διαστήματα με αν = 0 ή  βν = 0 , 
- είναι δυνατόν να υπάρχει μόνο περιορισμένος αριθμός διαστημάτων με το ένα άκρο τους ίσο με 0 και 
- τέτοια διαστήματα μπορεί να παρουσιασθούν μόνο στην αρχή και τα παραλείπουμε αριθμώντας τα υπόλοιπα εξ αρχής. 
Ορίζεται επίσης με τον γνωστό τρόπο και η απόλυτη τιμή του χ ίση με χ αν ο χ είναι θετικός ή 0 και ίση με –χ αν ο χ είναι αρνητικός. Και ο ορισμός της πράξης του πολλαπλασιασμού και της εύρεσης αντιστρόφου διευκολύνεται από τη χρήση της απόλυτης τιμής στον ορισμό.

Μπορούμε να αποδείξουμε όλες τις γνωστές ιδιότητες των πράξεων και των ανισοτήτων. Αποδεικνύεται ότι το Π είναι διατεταγμένο  σώμα.
Δεν θα δώσουμε την απόδειξη. Είναι αρκετά κουραστικό. Όποιος θέλει μπορεί να εξασκηθεί προσπαθώντας να ορίσει τις πράξεις και να αποδείξει τις ιδιότητες που απαιτούνται για να είναι το Π διατεταγμένο σώμα, όπως κάναμε στην περίπτωση του ορισμού των πραγματικών αριθμών ως τομών ρητών αριθμών.
Το Π είναι  και αρχιμήδειο σώμα γιατί από τον τρόπο ορισμού των αριθμών του Π προκύπτει ότι από κάθε  αριθμό του Π υπάρχουν ρητοί μεγαλύτεροι του και μεταξύ τους και ακέραιοι θετικοί αριθμοί. Επομένως το σύνολο των φυσικών αριθμών του Π δεν είναι άνω φραγμένο και η ιδιότητα αυτή είναι απολύτως ισοδύναμη με την αρχιμήδεια ιδιότητα.

Θα αρκούσε επομένως να δείξουμε ότι 

Αν {Ιν}  είναι  μια άπειρη ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων [αν  βν αριθμών του Π τότε η τομή όλων αυτών των κλειστών διαστημάτων περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Π.  Δεν είναι όμως απαραίτητο.

Το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε ότι το διατεταγμένο σώμα Π είναι πλήρες. Αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε σύνολο αριθμών του Π άνω φραγμένο έχει ελάχιστο άνω φράγμα και αυτό δεν είναι δύσκολο.

Έστω Α ένα σύνολο θετικών αριθμών του Π άνω φραγμένο. Σχηματίζουμε έναν αριθμό Χ του Π ως εξής:
Ο X θα είναι της μορφής Ν,ρρ2.ρ3....... ρν.....      όπου
- Ο Ν είναι ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος που δεν υπερβαίνει  κάποιους αριθμούς  του Α.
(Ο Ν+1 είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος που υπερβαίνει όλους τους αριθμούς του Α)

-Ο Ν,ρ1  είναι ο μεγαλύτερος θετικός ρητός αριθμός που γράφεται με ένα δεκαδικό ψηφίο και δεν υπερβαίνει κάποιους  αριθμούς του Α
(Ο Ν,ρ1+1/10  είναι ο ελάχιστος θετικός ρητός αριθμός που γράφεται με ένα δεκαδικό ψηφίο και υπερβαίνει όλους τους αριθμούς του Α) κ.ο.κ.
Ας το εξηγήσουμε λίγο
Αν υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν και  πρώτο δεκαδικό ψηφίο 9 , ο ρείναι 9.
Αν δεν υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν και  πρώτο δεκαδικό ψηφίο 9 και υπάρχει αριθμός του Α
που έχει ακέραιο μέρος Ν  και πρώτο δεκαδικό ψηφίο 8, ο ρείναι 8.
Αν δεν υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν και  πρώτο δεκαδικό ψηφίο 9 ή 8 και υπάρχει αριθμός του Α που έχει ακέραιο μέρος Ν  και πρώτο δεκαδικό ψηφίο 7 ο ρείναι 7. κ.ο.κ.
-Με τον ίδιο τρόπο που καθορίσαμε τον ρκαθορίζουμε και τον αριθμό ρ2.
Αν δεν υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν ,  πρώτο δεκαδικό ψηφίο ρκαι δεύτερο δεκαδικό ψηφίο 9, τότε ο ρ2. είναι 9
Αν δεν υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν , πρώτο δεκαδικό ψηφίο ρκαι δεύτερο δεκαδικό ψηφίο 9, αλλά υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν , πρώτο δεκαδικό ψηφίο ρκαι δεύτερο δεκαδικό ψηφίο 8, τότε ο ρ2. είναι 8
Αν δεν υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν , πρώτο δεκαδικό ψηφίο ρκαι δεύτερο δεκαδικό ψηφίο 9 ή 8 αλλά υπάρχει στοιχείο του Α με ακέραιο μέρος Ν , πρώτο δεκαδικό ψηφίο ρκαι δεύτερο δεκαδικό ψηφίο 7, τότε ο ρ2. είναι 7 , κ.ο.κ.
΄
Με τον ίδιο τρόπο καθορίζονται όλα τα ψηφία του αριθμού Χ, και ο Χ όπως καθορίζεται βρίσκεται στο διάστημα Ιν= [Νρρρ3.....ρν      Νρρρ3......ρν + 1/10ν )  για κάθε ν, και είναι αριθμός του  Π που δεν είναι μικρότερος από κανέναν αριθμό του Α.  Είναι επομένως ένα άνω φράγμα του Α στο Π.
Λέω ότι είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του Α, γιατί αν ένα άλλο άνω φράγμα του Α ήταν ο αριθμός Ψ 
με Ψ < Χ. 
Τότε ο Ψ θα είχε ας πούμε το ακέραιο μέρος και ας πούμε τα 101 πρώτα δεκαδικά ψηφία ίδια με του Χ αλλά θα είχε  το εκατοστό δεύτερο δεκαδικό  ψηφίο  μικρότερο του αντίστοιχου ψηφίου του Χ.
Υπάρχουν όμως αριθμοί του Α (ένας τουλάχιστον), που έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος και τα ίδια 102 πρώτα ψηφία με τον Χ και από όλους αυτούς τους αριθμούς ο Ψ θα ήταν μικρότερος. Άρα ο Ψ δεν θα ήταν άνω φράγμα του Α και αυτό συνιστά αντίφαση.
Δείξαμε ότι κάθε άνω φραγμένο σύνολο θετικών αριθμών του Π έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα στο Π.
Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε κάτω φραγμένο σύνολο θετικών αριθμών του Π έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα στο Π αλλά δεν χρειάζεται.
Τώρα αν Α είναι ένα άνω φραγμένο σύνολο αρνητικών αριθμών του Π , τότε το σύνολο Α* που αποτελείται από τους αριθμούς τους αντίθετους των αριθμών του Α θα ήταν ένα κάτω φραγμένο σύνολο θετικών αριθμών του Π, και θα είχε ένα μέγιστο κάτω φράγμα έστω τον αριθμό Χ*. Προφανώς ο αριθμός -Χ* είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του Α  στο Π.
Ακόμη, το ελάχιστο άνω φράγμα ενός άνω φραγμένου συνόλου Α που περιλαμβάνει και θετικούς και αρνητικούς αριθμούς του Π, είναι ίδιο με το ελάχιστο άνω φράγμα του συνόλου που αποτελείται από τα θετικά στοιχεία του Α και επομένως υπάρχει.

Επομένως στο σώμα Π όπως το κατασκευάσαμε, κάθε άνω φραγμένο σύνολο έχει  ελάχιστο άνω φράγμα και επομένως το σώμα Π είναι πλήρες και ως πλήρες είναι ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών.

Αυτό συνεπάγεται αμέσως και την ισχύ της πρότασης

Αν {Ιν}  είναι  μια άπειρη ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων [αν  βν αριθμών του Π τότε η τομή όλων αυτών των κλειστών διαστημάτων περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Π.  
που θεωρήσαμε δύσκολο να την αποδείξουμε και προκύπτει τώρα ως συνέπεια της πληρότητας του Π που την αποδείξαμε με άλλη διαδικασία.




11.5 Η αμφιμονότιμη αντιστοίχηση μεταξύ των πραγματικών αριθμών αφ' ενόςκαι των σημείων μιας ευθείας αφ' ετέρου

Έστω ε μια ευθεία, και έστω ότι το σημείο Ο πάνω στην ευθεία είναι το σημείο από το οποίο μετρούμε τις αποστάσεις. Απόσταση σημείου Μ της ευθείας από το Ο λέμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΜ με πρόσημο + αν το Μ είναι δεξιά του Ο , και με σημείο - αν το Μ είναι αριστερά του Ο.  Για τη μέτρηση των μηκών χρησιμοποιούμε ως μονάδα  μέτρησης ένα μήκος ΟΑ. Έστω  επί  της ευθείας τα σημεία  
A1, A2, A3,...... Αν, Aν+1, .....   δεξιά του Ο ούτως 
ώστε να είναι 
ΟA1, =  ΟΑ 
ΟΑ2, =  2.ΟΑ, 
ΟA3, =  3.ΟΑ 
......
......
ΟAν, =  ν.ΟΑ 
......
Τον αριθμό μηδέν  ορίζουμε ως αντίστοιχο του σημείου  Ο που μπορεί να το αναφέρω στη συνέχεια ως  A0.
Ορίζω τον αριθμό 1 ως αντίστοιχο του σημείου  A1,  και γενικά για κάθε θετικό ακέραιο ν, ορίζω τον ν ως αριθμό αντίστοιχο του σημείου Aν.
Προς τα αριστερά του Ο και για κάθε ν, το σημείο (Aν)* για το οποίο ισχύει ΟAν*= ΟAν, το ορίζουμε ως αντίστοιχο του αριθμό τον  αρνητικό  ακέραιο (-ν).

Έστω τώρα ένα σημείο Μ επί της ευθείας,  στα δεξιά του Ο. Ποιος αριθμός είναι αντίστοιχος αυτού του σημείου;

Το σημείο Μ μπορεί να συμπίπτει με  ένα σημείο που έχει ως αντίστοιχο  θετικό ακέραιο αριθμό, έστω με το σημείο Aρ . Στην περίπτωση αυτή αντιστοιχείται με τον ακέραιο θετικό αριθμό ρ.
Αν δεν συμβαίνει αυτό, το σημείο Μ θα βρίσκεται μεταξύ δύο σημείων Αρ, και Αρ+1,  
Αν χ είναι ο αριθμός που αντιστοιχείται στο σημείο Μ είναι  ρ < χ < ρ+1
Και συγχωνεύοντας τις δύο αυτές περιπτώσεις μπορώ να γράψω  ρ ≤ χ < ρ + 1 και ο χ ανήκει στο ημικλειστό διάστημα Ι0= [ρ, ρ+1) 
Διαιρώντας τώρα το τμήμα Αρ+1, σε 10 ίσα τμήματα  κάθε ένα από τα οποία περιέχει το αριστερό άκρο του αλλά όχι το δεξιό, θα βρω ότι ο αριθμός χ  που αντιστοιχεί στο σημείο Μ ανήκει  στο διάστημα Ι1=[ρρ1   ρρ+ 1/10) 
Αν το Μ πέφτει στο αριστερό άκρο αυτού του διαστήματος (το διάστημα δεν περιλαμβάνει το δεξιό άκρο του) αντιστοιχώ στο σημείο Μ τον αριθμό ρρ1.  
Αν το σημείο Μ δεν συμπίπτει με το αριστερό άκρο αυτού του διαστήματος, τότε διαιρώ και αυτό το διάστημα σε 10 ίσα ημιανοικτά διαστήματα που περιλαμβάνουν το αριστερό τους άκρο και συνεχίζω με τον ίδιο τρόπο
Αν παναλαμβάνοντας αυτήν τη διαδικασία έπανειλημμένα χωρίς το Μ να συμπίπτει με το αριστερό άκρο κάποιου διαστήματος αλλά στο επόμενο βήμα συμπίπτει με  το αριστερό άκρο του διαστήματος
Ιν= [ρρρρ3.....ρν.      ρρρρ3......ρν. + 1/10ν 
αντιστοιχώ στο σημείο Μ τον αριθμό χ = ρρρρ3. ..... ρν.      
Αν  το Μ δεν συμπίπτει ποτέ με το αριστερό άκρο ενός  από τα διαστήματα που προκύπτουν κατά τη διαδικασία, τότε τα διαστήματα Ιν συνιστούν άπειρη ακολουθία εγκιβωτισμένων διαστημάτων ρητών με ρητά άκρα που όλα περιλαμβάνουν τον αριθμό χ τον αντίστοιχο του σημείου Μ.
Αν θέσω Ιν΄= [αν, βν )    
με  αν = ρρρ2......ρν.      και    βν = ρρρ2......ρν. 1/10ν 
έχω  (βνν) = 1/10ν 
και αν θέσω Ιν΄=  [αν, βν ]
έχω ότι όλα τα Ιν΄ έχουν ακριβώς ένα κοινό στοιχείο έστω τον αριθμό χ΄ για τον οποίο ισχύει 
αν ≤  χ΄  ≤  βν     για  κάθε ν.
Αφού όμως  το Μ δεν βρίσκεται ακριβώς πάνω στα άκρα ενός διαστήματος για κανένα ν, και αντιστοιχίσω στο Μ τον αριθμό χ θα είναι 
αν < χ <  βν     για  κάθε ν.
Επομένως θα  είναι  | χ-χ΄| <  (βνν) = 1/10ν για κάθε ν, και επομένως χ = χ΄.
Αντιστοιχώ ως εκ τούτου σε  αυτήν την περίπτωση στο Μ, τον  αριθμό χ που θα είναι το μοναδικό κοινό στοιχείο όλων των διαστημάτων Ιν΄.

Είπαμε τι κάνουμε αν το Μ βρίσκεται δεξιά του Ο και πώς ορίζεται στην περίπτωση αυτή  ένας και μοναδικός (θετικός) πραγματικός αριθμός ως αντίστοιχος του Μ. 
Αν το Μ βρίσκεται στο Ο, τότε αντίστοιχος του Μ είναι ο πραγματικός αριθμός 0 (μηδέν) και είναι πάλι μοναδικός.
Αν το Μ βρίσκεται αριστερά του Ο, τότε έχουμε μια σύντομη περιγραφή του τι κάνουμε.
Παίρνουμε πάνω στην ευθεία και στα δεξιά του Ο  το σημείο Μ* έτσι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΜ* να είναι ίσο με το ΟΜ. Βρίσκουμε το μοναδικό θετικό πραγματικό θετικό αριθμό χ που είναι αντίστοιχος του σημείου Μ* και αντιστοιχούμε στο σημείο Μ τον αριθμό (-χ). Προφανώς για κάθε σημείο Μ ο αριθμός αυτός είναι αρνητικός και μοναδικός.
Έτσι σε κάθε περίπτωση αντιστοιχεί σε κάθε σημείο της ευθείας ένας και μοναδικός πραγματικός αριθμός. Δύο διαφορετικοί θετικοί αριθμοί δεν μπορεί να είναι αντίστοιχοι του ίδιου σημείου της ευθείας. Καλύπτονται όμως με αυτήν την αντιστοίχιση όλοι οι πραγματικοί αριθμοί;

Έστω  ο αριθμός 3. Αντιστοιχεί με κάποιο σημείο της ευθείας ε και αν ναι, με ποιο σημείο; 
Αρχίζοντας από το Ο παίρνω στα δεξιά του Ο και πάνω στην ευθεία 3 διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, ίσα το καθένα με το ΟΑ. Το δεξιό πέρας του τρίτου τμήματος είναι το σημείο Μ που αντιστοιχείται με τον αριθμό 3 και προφανώς είναι μοναδικό.

Έστω  ό αριθμός 3,14. Ποιου σημείου είναι αντίστοιχος;;
Υπάρχει τμήμα  ίσο με (ΟΑ / Ν) για κάθε ακέραιο θετικό αριθμό Ν. και είναι γνωστό το πώς κατασκευάζεται.
Βρίσκουμε τα τμήματα  (ΟΑ/10) και (ΟΑ/102 )  και ξεκινώντας από το Ο κατασκευάζω προς τα δεξιά τμήμα ΟΔ με
ΟΔ = 3.ΟΑ + 1. (ΟΑ/10) + 4.(ΟΑ/102 ) 
και ο αριθμός 3,14  είναι αντίστοιχος του σημείου Δ. 

Τι κάνω με τον αριθμό -3,14;
Παίρνω επί της ευθείας και προς τα αριστερά του Ο σημείο Δ*, ούτως ώστε το τμήμα ΟΔ* να είναι ίσο με το αμέσως παραπάνω αναφερόμενο τμήμα ΟΔ. Προφανώςο αριθμός  -3,14, είναι αντίστοιχος του σημείου Δ*


Ποιο όμως είναι το σημείο της ευθείας του οποίου είναι αντίστοιχος ο αριθμός 
χ = ρρρ2.ρ3....... ρν..... 
που έχει άπειρα στοιχεία τα οποία δεν είναι από κάποιο και έπειτα ούτε όλα ίσα με 0, ούτε όλα ίσα με 9;

Ο αριθμός ρ είναι αντίστοιχος του σημείου Αρ και ο αριθμός ρ+1 είναι αντίστοιχος του σημείου Αρ+1 .
Έστω ότι ο αριθμός ρρ1 ειναι αντίστοιχος του σημείου Χκαι ο αριθμός (ρρ1+1/10)  είναι αντίστοιχος του σημείο Ψ
και γενικά και για κάθε ν είναι 
ο αριθμός ρρρ2.ρ3....... ρν αντίστοιχος του σημείου Χν και ο αριθμός (ρρ1ρ2....... ρν+1/10ν)   του σημείου  Ψν
Το σημείο M του οποίου  αντίστοιχος είναι ο αριθμός χ βρίσκεται επομένως μεταξύ του Αρ και  του σημείου Αρ+1, μεταξύ του Χκαι  του Ψ, γενικά μεταξύ του Χν και  του Ψν ,  για κάθε ν. Είναι επομένως κοινό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος Αρ Αρ+1 και  όλων των ευθυγράμμων τμημάτων Χν Ψν ,  όπου το ν παίρνει όλες τις ακέραιες θετικές τιμές. Υπάρχει ένα τέτοιο σημείο; Υπάρχουν περισσότερα από ένα;
Όλα αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα περιέχονται στο  τμήμα Αρ Αρ+1 , και  κάθε ένα από αυτά είναι τμήμα του αμέσως προηγουμένου του και επομένως όλων των προηγουμένων του. Λέμε ότι αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα είναι εγκιβωτισμένα
Περαιτέρω το μήκος του Χν Ψν , είναι ίσο με  1/10ν <  1/ν   και για αυτό γίνεται μικρότερο από οποιοδήποτε τμήμα λ όταν ο ν γίνεται αρκετά μεγάλος. Λέμε ότι το μήκος του Χν Ψν  τείνει στο 0 όταν ο ν τείνει στο άπειρο και ότι το Χν Ψν , τείνει να γίνει μηδενικό ή αλλιώς σημειακό τμήμα,  όταν ο ν τείνει στο άπειρο. 
Τίθεται ως αξίωμα ότι:
Τα ευθύγραμμα τμήματα ενός συνόλου εγκιβωτισμένων ευθυγράμμων τμημάτων έχουν πάντοτε ένα  τουλάχιστον κοινό σημείο 
Επειδή όμως τα Χν Ψν  τείνουν στο 0 όταν ο ν τείνει στο άπειρο δεν μπορεί να περιέχουν όλα δύο ή περισσότερα κοινά σημεία έστω τα Μ, Ν γιατί τότε όλα τα Χν Ψν  θα  ήταν μεγαλύτερα του τμήματος ΜΝ και αυτό αντίκειται στο ότι γίνονται μικρότερα του οποιουδήποτε τμήματος λ όταν ο ν γίνεται αρκετά μεγάλος.
Όλα λοιπόν τα παραπάνω εγκιβωτισμένα ευθύγραμμα τμήματα έχουν για κάθε αριθμό χ ένα και μοναδικό κοινό σημείο,  έστω το Μ
Μπορεί να δειχθεί ότι ο κάθε αριθμός χ με άπειρα δεκαδικά ψηφία είναι αντίστοιχος αυτού του ενός και μοναδικού για κάθε αριθμό χ σημείου Μ. 

Για να δώσουμε το διάγραμμα της απόδειξης χρησιμοποιήσαμε ένα ακόμη αξίωμα. Το αξίωμα αυτό όμως δεν αφορά τους αριθμούς. Αφορά τα σημεία και το πλήθος των σημείων μιας ευθείας. Είναι αξίωμα της γεωμετρίας. Ένα τέτοιο αξίωμα ήταν απαραίτητο για να συνδεθούν οι αριθμοί με τα σημεία μιας ευθείας.
Ο τρόπος που είχαν προκρίνει οι αρχαίοι Έλληνες ( οι αριθμοί εννοούντο ως λόγοι και είχε ορισθεί  κατάλληλα η ισότητα λόγων), συνέδεε πιο άμεσα και πιο απλά τους αριθμούς με γεωμετρικά μήκη. Ο τρόπος που χρησιμοποίησαν οι νεότεροι είναι πιο εξεζητημένος και πιο αναλυτικός. Άνοιξε πολλούς νέους δρόμους .Δημιούργησε πλήθος νέων κλάδων, έθεσε πλήθος νέα προβλήματα και οδήγησε σε πλήθος νέων εφαρμογών. Το μαθηματικό σύμπαν των νεότερων μαθηματικών είναι αφάνταστα πιο περίπλοκο και αφάνταστα πιο πλούσιο από το μαθηματικό σύμπαν των αρχαίων Ελλήνων. Όμως οι αρχαίοι Έλληνες ήταν εκείνοι που έθεσαν τις βάσεις και ξεκίνησαν το ταξίδι, και έφτασαν και αρκετά μακριά. Και οι άλλοι άργησαν πολύ να  πάρουν  το δρόμο τους.



11.6. Βασικές ακολουθίες (ακολουθίες Cauchy

α) Η σύγκλιση βασικών ακολουθιών σε πλήρη σώματα

Πρόταση 5.  Αν η {αν} είναι ακολουθία Cauchy πραγματικών αριθμών, τότε είναι συγκλίνουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών.

Είναι συγκλίνουσα μια ακολουθία σημαίνει ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός χ (το όριο στο οποίο συγκλίνει η ακολουθία), για τον οποίο ισχύει ότι για αρκετά μεγάλο ν   είναι | αν-χ | < ε  για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε.
Αρκετά μεγάλο ν  σημαίνει  ν ίσο ή μεγαλύτερο κάποιου  συγκεκριμένου ακέραιου θετικού αριθμού  Ν που η τιμή του εξαρτάται από τον ε.

Ακολουθία  Cauchy σημαίνει  ακολουθία πραγματικών αριθμών για την οποία ισχύει ότι για αρκετά μεγάλα μ,ν   είναι 
| ανμ | < ε  για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε.
Οι ακολουθίες Cauchy ονομάζονται  και βασικές ακολουθίες και συχνά έτσι θα τις αναφέρουμε στη συνέχεια.
Η πρόταση αυτή θέτει ένα κριτήριο (ονομάζεται κριτήριο Cauchy), για το αν συγκλίνει μια ακολουθία χωρίς αναφορά στην τιμή του ορίου σύγκλισης, και αυτό είναι σημαντικό

Πριν  αποδείξουμε την πρόταση 5 θα ξαναδιαβάσουμε τον ορισμό των βασικών ακολουθιών.

- Αν η {αν} είναι ακολουθία Cauchy τότε για κάθε  ε>0 υπάρχει ακέραιος Ν εξαρτώμενος από τον ε
τέτοιος ώστε αν είναι      μ, ν ≥  Ν  
να είναι    | ανμ | <  ε/2
Αυτό συνεπάγεται  | ανΝ | <  ε/2  και επομένως  ότι
ο τυχόν αν  ανήκει στο διάστημα   (αΝ – ε/2,  αΝ + ε/2) =
= (α, β)    με β-α < ε.
 Ακολουθία Cauchy είναι επομένως μια ακολουθία που όλοι οι όροι της τελικά, ανήκουν σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β)  με  (β – α) < ε  όπου ε αυθαίρετος θετικός αριθμός,
Όλοι οι όροι της τελικά , σημαίνει όλοι από κάποιον και έπειτα.
.

- Είναι φανερό ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι βασική ακολουθία γιατί αν Α είναι το όριο της συγκλίνουσας ακολουθίας  τότε είναι
| ανμ | = | (αν- A) + (A - αμ )  |  ≤ 
≤  | (αν- A) | + | (A - αμ )  |   
Και για να είναι  | ανμ |  <  ε  αρκεί να είναι
| αν- A) |  < ε/2   και
| A- αμ| < ε/2
Αυτό όμως συμβαίνει αναγκαστικά όταν οι ν, μ είναι μεγαλύτεροι από κάποιον αριθμό Ν που εξαρτάται από τον ε ( ή αλλιώς συμβαίνει τελικά), αφού η  {αν} συγκλίνει στον αριθμό Α.
Η πρόταση 5 λέει ότι ισχύει και το αντίστροφο  αλλά μόνο σε πλήρη διατεταγμένα σώματα και οι πραγματικοί αριθμοί είναι πλήρες και διατεταγμένο σώμα
Να διευκρινίσω εδώ ότι μια βασική ακολουθία ρητών αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ως βασική ακολουθία πραγματικών αριθμών και επομένως συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό που άλλες φορές μπορεί να είναι ρητός και άλλες φορές μπορεί να είναι άρρητος. Επομένως μια βασική ακολουθία δεν συγκλίνει πάντα εντός του συνόλου των ρητών αριθμών.
Αλλά ας εμβαθύνουμε περαιτέρω στο τι συνεπάγεται ο ορισμός  του τι σημαίνει  βασική ακολουθία

- Έστω Ν    και   Ν΄     δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί και έστω ότι
α) όλοι οι όροι μιας βασικής ακολουθίας {αν}  από τον  αΝ  και έπειτα  και μόνον αυτοί περιέχονται στο ανοικτό διάστημα (α, β) με  (β-α) ≤ ε, και
β) όλοι οι όροι της ίδιας βασικής ακολουθίας {αν}  από τον  αΝ΄  και έπειτα  και μόνον αυτόί περιέχονται στο διάστημα (α΄, β΄) με  (β΄-α΄) ≤ ε΄
Αν είναι  Ν < Ν΄  στο διάστημα (α, β) περίέχονται όλοι οι όροι της ακολουθίας από τον αΝ έως τον αΝ΄-1 και όλοι οι όρο της ακολουθίας από τον αΝ΄ και έπειτα.
Αυτό σημαίνει ότι
αν  είναι Ν < Ν΄  τότε:
-Το  διάστημα (α΄, β΄)  είναι υποδιάστημα του διαστήματος (α, β)
- Είναι    α ≤ α΄       και      β΄≤  β 
- Είναι    ε΄ ≤  ε  
Αντιστρόφως αν είναι  ε  < ε΄  τότε:¨
- Θα είναι   Ν΄< Ν   (αφού αν ήταν Ν ≤  Ν΄ θα ήταν  ε΄ ≤ ε )
και επομένως:
-Το διάστημα (α, β)  θα είναι υποδιάστημα του διαστήματος (α΄, β΄)
- θα ίναι  επομένως     α΄≤ α       και      β ≤  β΄ 
Τώρα είμαστε έτοιμοι να αποδείξουμε την πρόταση 4      

Σύμφωνα με όσα έχουμε πει, αν  η  {αν} είναι βασική ακολουθία τότε
όλοι οι όροι της τελικά (όλοι από κάποιον όρο και έπειτα ),  περιέχονται  σε κάποιο διάστημα (Α1 , Β1)   με  (Β11) ≤  ε , όπου ο ε είναι θετικός αριθμός.
Η τάξη Ντου πρώτου όρου της ακολουθίας που περιέχεται στο διάστημα  (Α1 , Β1) εξαρτάται από την τιμή του πραγματικού θετικού αριθμού ε.
Όμως τελικά και όλοι οι όροι της {αν} (όλοι από τον όρο τάξεως Ν2(ε/10) > Ν1 και έπειτα), περιέχονται και σε ένα διάστημα (Α2 , Β2)   υποδιάστημα του (Α1 , Β1)   με  (Β22)  ≤  ε/10
Και όλοι οι όροι της από τον όρο  τάξεως  Ν3(ε/102) > Ν2 και έπειτα περιέχονται και σε ένα διάστημα (Α3 , Β3) ,  υποδιάστημα του (Α2 , Β2),   με  (Β33)  ≤  ε/102
Και συνεχίζοντας επ’ άπειρον γενικεύουμε  λέγοντας ότι όλοι οι όροι της από τον όρο  τάξεως  Νκ(ε/10κ-1) > Νκ-1 και έπειτα περιέχονται και σε ένα διάστημα (Ακ , Βκ) ,  υποδιάστημα του (Ακ-1 , Βκ-1),   με  (Βκκ)  ≤  ε /10κ-1

Προφανώς τα διαστηματα  (Ακ , Βκ)  σχηματίζουν μιαν άπειρη ακολουθία εγκιβωτισμένων αλλά όχι κλειστών διαστημάτων
με  (Βκκ)  ≤  ε / 10κ-1   να έχει όριο το 0 όταν το κ τείνει στο άπειρο.
Έχουμε:

ε > ε/10 > ε/102 > ……> ε/10κ-1 > ……..
Επομένως όπως έχουμε εξηγήσει είναι

Ν1 <  Ν2 < Ν3 < ……. < Νκ <….. 

Α1 ≤  Α2 ≤ Α3 ≤ ……. ≤ Ακ  ≤ …….. 

Β1 ≥   Β2 ≥  Β3 ≥ …….≥  Βκ  ≥  …….. 

Α1 <  Β1  ,          Α2 <  Β2 ,……… ,  Ακ <  Βκ , ……….

Βκ – Ακ  ≤ ε/10κ-1
  
Προκύπτει εύκολα ότι είναι

Ακ <  Βρ     για τους οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους κ και ρ

Η ακολουθία  {Αρ} είναι επομένως αύξουσα (όχι κατ’ ανάγκην γνησίως αύξουσα), και άνω φραγμένη (άνω φράγμα της είναι κάθε Βκ). Επομένως έχει ελάχιστο άνω φράγμα έστω τον πραγματικό αριθμό χ και συγκλίνει στον χ.  Έχουμε επομένως 

χ ≤  Βκ  για κάθε θετικό ακέραιο κ  αφού κάθε Βκ  αποτελεί άνω φράγμα της ακολουθίας { Ακ} και ο χ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα της, και
Ακ  ≤ χ     για κάθε κ αφού ο χ είναι άνω φράγμα της  ακολουθίας  {Ακ}
Άρα είναι
 Ακ ≤  χ  ≤ Βκ         για κάθε κ 
Στα διαστηματα  (Αμ  Βμ) ανήκουν όμως όλοι οι  όροι της ακολουθίας {αν } από κάποιον  ν  και έπειτα. Ισχύει επομένως
  | αν-χ | < Βμ – Αμ   ≤ ε /10μ-1      για κάθε θετικό ακέραιο μ
Αυτό αποδεικνύει ότι η  βασική ακολουθία {αν } συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό χ που αποτελεί το όριο στο οποίο συγκλίνει  το αριστερό άκρο των διαστημάτων στα οποία περιέχονται όλοι οι όροι της {αν } , από κάποια τιμή  ν = Ν του θετικού ακεραίου ν  και έπειτα.

Ας συμπληρώσουμε όμως λίγα ακόμη.
Η ακολουθία {Βκ} είναι φθίνουσα (όχι κατ’ ανάγκην γνησίως), και κάτω φραγμένη ( κάτω φράγμα της είναι κάθε Ακ). Επομένως συγκλίνει στο μέγιστο κάτω φράγμα της, έστω τον πραγματικό αριθμό ψ. Με όμοιο  με τον παραπάνω τρόπο βρίσκω
Ακ ≤  ψ  ≤ Βκ         για κάθε θετικό ακέραιο κ.
Έχουμε ακόμη ότι η ακολουθία  Βκ – Ακ  είναι μηδενική αφού  Βκ – Ακ ≤  ε /10κ     
Επομένως    ψ = χ  (Αν ήταν ψ διάφορο του χ  θα ήταν Βκ – Ακ > | χ- ψ) | για κάθε κ και αυτό αντίκειται στο ότι η ακολουθία  (Βκ – Ακ ) είναι μηδενική.

Αυτό αποδεικνύει ότι η  βασική ακολουθία {αν } συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό χ που είναι το κοινό όριο των άκρων των διαστημάτων στα οποία περιέχονται όλοι οι όροι της {αν } , από κάποια τιμή  ν = Ν του θετικού ακεραίου ν  και έπειτα. 
Ο χ είναι επομένως το κοινό όριο στο οποίο συγκλίνουν τα άκρα αυτών των διαστημάτων  όταν ο Ν τείνει στο άπειρο
Το ότι ο χ είναι και το όριο της ακολουθίας που οι όροι της  περιέχονται σε αυτά τα διαστήματα είναι κάτι που θα μπορούσε να προλεχθεί πριν αποδειχθεί.
Σημαντικό ότι  η πρόταση δεν ισχύει σε μη πλήρες σώμα όπως το σώμα των ρητών αριθμών
Αναφέρεται όμως ότι μπορεί να ισχύει και σε σώματα μη αρχιμήδεια και επομένως μη πλήρη. Τα σώματα αυτά καλούνται  πλήρη κατά Cauchy

Το κριτήριο  Cauchy ισχύει και για συναρτήσεις.στις οποίες η μεταβλητή είναι συνεχής και επομένως παίρνει υπεραριθμήσιμο πλήθος τιμών. Και ισχύει και γενικότερα. Ισχύει και για συναρτήσεις νι-διάστατης μεταβλητής χ(χ1, χ2,, …, χ)  που οι τιμές τους  ψ(ψ1, …, ψμ είναι διατεταγμένες μι-πλέτες πραγματικών αριθμών (σημεία ενός μι-διάστατου χώρου), και μάλιστα  και όταν μιλάμε για όριο όταν η μεταβλητή χ τείνει στο άπειρο, και όταν μιλάμε για όριο όριο όταν η μεταβλητή χ τείνει σε πεπερασμένο σημείο Α(α1, …, αν).
Η απόδειξη βασίζεται σε όσα έχουμε αναφέρει πιο πάνω για κλειστά και φραγμένα εγκιβωτισμένα σύνολα σημείων πολυδιάστατων πλήρων χώρων.
Η ανάπτυξη της σχετικής θεωρίας απαιτεί την εισαγωγή συνάρτησης μέτρου κάθε σημείου ενός πολυδιάστατου χώρου και εισαγωγή της έννοιας της  απόστασης δύο σημείων α, β ως μέτρου του (α-β)Υπάρχουν πολλές και απροσδόκητα πολλών μορφών συναρτήσεις που οποιαδήποτε από αυτές μπορεί να είναι χρήσιμο να θεωρηθεί ως συνάρτηση μέτρου σε συγκεκριμένες περιπτώσεις

β) Ισοδυναμία της πρότασης για τα εγκιβωτισμένα διαστήματα και της πρότασης για τη σύγκλιση βασικών ακολουθιών 

Σε κάθε διατεταγμένο σώμα οι προτάσεις 3 του 9.3 (για τα εγκιβωτισμένα διαστήματα) και 5 του 9.5 (για τις βασικές ακολουθίες)  είναι ισοδύναμες. Κάθε μια συνεπάγεται την άλλη.  Μπορούμε να πούμε ότι δείξαμε ότι η πρώτη (για τα εγκιβωτισμένα διαστήματα) συνεπάγεται τη δεύτερη (για τις βασικές ακολουθίες). Θα αποδείξουμε  ότι και η δεύτερη συνεπάγεται την πρώτη.
Πρόταση 5β: Σε ένα διατεταγμένο σώμα αν κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει, τότε η τομή όλων των διαστημάτων κάθε άπειρης ακολουθίας κλειστών και εγκιβωτισμένως διαστημάτων  [A ν Bν]  που τα μήκη των διαστημάτων-της  (Βν – Αν) συνιστούν μηδενική ακολουθία, περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο.

Έστω μια άπειρη ακολουθία  [A1  B1],  [A2  B2],  ......... [A ν Bν],  ....................
κλειστών εγκιβωτισμένων διαστημάτων και έστω ότι η ακολουθία  ( Βκ – Ακ ) είναι μηδενική.
Σχηματίζω την ακολουθία     χ1,  χ2, ……… , χν,  …………….
όπου    χ1, είναι το μέσο του [A1  B1],     και  γενικά  χκ, είναι το μέσο του [Aκ  Bκ]
Προφανώς για μ,ν > Ν  είναι  | χμ- χν |  <  (ΒΝ – ΑΝ) < ε  για κατάλληλα μεγάλη τιμή του Ν (όταν το Ν τείνει στο άπειρο είναι εναλλακτική διατύπωση), αφού  η ακολουθία  ( Βκ – Ακ ) είναι μηδενική..
Επομένως η ακολουθία {χν} είναι βασική, και αν οι βασικές ακολουθίες συγκλίνουν, συγκλίνει και η {χν}, έστω στον αριθμό χ. Για κάθε ε > 0   ύπάρχει  ένας φυσικός αριθμός Ν ούτως ώστε να ισχύει  

| χν-χ | < ε  

για κάθε ν > Ν
Επομένως σε κάθε περιοχή του χ περικλείονται όλοι οι όροι της ακολουθίας εκτός ενός πεπερασμένου πλήθους όρων, όλα τα μέσα διαστημάτων εκτός ενός πεπερασμένου αριθμού. Και για κάθε ν>Ν περιλαμάνονται σε κάθε περιοχή του χ άπειροι αριθμοί του διαστήματος [A ν Bν] που είναι και αριθμοί όλων των προηγουμένων διαστημάτων. Ο αριθμός χ επομένως είναι σημείο συσσωρεύσεως όλων των των  διαστημάτων  [A ν Bν] και επειδή τα διαστήματα αυτά ως κλειστά διαστήματα περιέχουν όλα τα σημεία συσσώρευσης στοιχείων τους, ο χ ανήκει σε όλα τα διαστήματα [A ν Bν], από ν =1 έως άπειρο
Η τομή όλων των διαστημάτων επομένως περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο και επειδή  η ακολουθία ( Βκ – Ακ ) είναι μηδενική, περιέχει μόνο ένα.

 Έχουμε δει ότι σε κάθε διατεταγμένο σώμα  η πρόταση 3 του 9.3 που αφορά εγκιβωτισμένα διαστήματα συνδυαζόμενη με την πρόταση τη γνωστή ως αξίωμα του Ευδόξου ή αξίωμα του Αρχιμήδη (αρχιμήδεια ιδιότητα), αποτελεί σύστημα προτάσεων που εξασφαλίζει την πληρότητα του σώματος. Είδαμε τώρα ότι  σε κάθε διατεταγμένο σώμα η πρόταση για τη σύγκλιση των βασικών ακολουθιών είναι ισοδύναμη με την πρόταση 3. του 9.3. Επομένως 

Πρόταση 5β1: 
Η ταυτόχρονη ισχύς της πρότασης για τη σύγκλιση των βασικών ακολουθιών,  και του αξιώματος του Ευδόξου  (ή αλλιώς του Αρχιμήδη)  σε ένα διατεταγμένο σώμα Σ εξασφαλίζει και την πληρότητα του Σ  και το καθιστά επομένως ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών

Το αξίωμα του Ευδόξου σε ένα διατεταγμένο σώμα Σ ορίζει ότι  
«κάθε θετικός αριθμός του Σ πολλαπλασιαζόμενος με κατάλληλα μεγάλο ακέραιο θετικό αριθμό του Σ, υπερβαίνει οποιονδήποτε άλλον αριθμό αυτού του σώματος »,  
και είναι πρόταση  ισοδύναμη με την πρόταση 
«σε κάθε διατεταγμένο σώμα  Σ  το συνολο των φυσικών αριθμών αυτού του σώματος δεν είναι άνω φραγμένο»
Η ιδιότητα αυτή  ονομάζεται αρχιμήδεια ιδιότητα και τα σώματα στα οποία ισχύει ονομάζονται αρχιμήδεια.


γ) Τρίτος τρόπος κατασκευής πλήρωσης των ρητών αριθμών (κατασκευής των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς αριθμούς)

Η πρόταση 5β1 μας δίνει έναν τρίτο τρόπο να πληρωθεί με πρόσθετους αριθμούς το σώμα των ρητών αριθμών για να δημιουργηθεί ένα πλήρες σώμα και να ξανακατασκευασθεί έτσι το σώμα των πραγματικών αριθμών.
Ορίζουμε ότι δύο βασικές ακολουθίες ρητών αριθμών ή {χν}και η {ψν} είναι ισοδύναμες όταν η {χνν} είναι μηδενική ακολουθία.
Είναι εύκολο να δούμε ότι έτσι ορίζετα μια σχέση ισοδυναμίας που διαιρεί τις ακολουθίες Cauchy ρητών αριθμών σε κλάσεις ισοδυναμίας. Ορίζουμε αυτές τις κλάσεις ισοδυναμίας ως αριθμούς ενός νέου συνόλου που θα το καλέσουμε και εδώ Π. 
Οι ακολουθίες μιας κλάσης ισοδυναμίας μπορεί να έχουν κοινό όριο έναν ρητό αριθμό. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η κλάση αυτή  είναι ένας ρητός αριθμός του Π.
Αν οι ακολουθίες μιας άλλης κλάσης ισοδυναμίας δεν συγκλίνουν σε ρητό αριθμό λέμε ότι η κλάση  αυτή είναι ένας μη ρητός αριθμός  του Π. Παριστάνω ως α*, χ* ψ* κλπ τους αριθμούς του Π, δηλαδή τις κλάσεις ισοδυναμίας. Η φράση η 
ν} ανήκει στην χ* είναι ευνόητη.
Μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ στοιχείων του Π δηλαδή μεταξύ κλάσεων ισοδυνάμων ακολουθιών Cauchy. Οι πράξεις γίνονται μεταξύ δύο ακολουθιών που μία ανήκει στην πρώτη κλάση και ή άλλη στη δεύτερη . Θυμίζουμε ότι
ν}+{ψν} = {χν + ψν}        {χν}.{ψν} = {χν .ψν}    -{χν} = {-χν}   και  1 /{χν} = {1 / χν}
υπό ευνόητους περιορισμούς  (για την τελευταία πράξη η  {χν} να μην είναι μηδενική) και ευνόητες προσαρμογές (παράλειψη για την τελευταία πράξη όλων  των  πεπερασμένου πλήθους μηδενικών όρων μιας μη μηδενικής ακολουθίας)
Μπορούμε να αποδείξουμε ότι  αν αν κάνουμε δύο φορές μια πράξη και τη δεύτερη φορά επιλέξουμε  ως εκπροσώπους των κλάσεων διαφορετικές ακολουθίες από τις ακολουθίες που είχαμε επιλέξει την πρώτη φορά το αποτέλεσμα δεν θα αλλάξει.  Με διαφορετική επιλογή των εκπροσωπων των κλάσεως ισοδυναμίας θα βρίσκουμε ως αποτέλεσμα διαφορετικές ακολουθίες που θα ανήκουν όμως στην ίδια κλάση ισοδυναμίας, δηλαδή  θα βρούμε το ίδιο στοιχείο του Π. Οι πράξεις είναι καλά ορισμένες.
Μεταξύ των στοιχείων του Π υπάρχει ο αριθμός 0* (η κλάση των μηδενικών ακολουθιών) και ο αριθμός 1* (η κλάση των βασικών ακολουθιών που συγκλίνουν στον ρητό 1)
Μπορούμε να ορίσουμε ως θετικούς αριθμούς του Π τις κλάσεις ισοδυνάμων βασικών  ακολουθιών  ρητών αριθμών που δεν είναι μηδενικές και όλοι οι όροι τους από κάποιον και έπειτα είναι θετικοί ρητοί αριθμοί και ως αρνητικούς τις κλάσεις ισοδυνάμων βασικών  ακολουθιών  ρητών αριθμών που δεν είναι μηδενικές και όλοι οι όροι τους από κάποιον και έπειτα είναι αρνητικοί ρητοί αριθμοί. 

Μπορούμε να αποδείξουμε όλες τις ιδιότητες των πράξεων που καθιστούν το Π σώμα αλλά το αφήνουμε στον αναγνώστη για ευνόητους λόγους. Πάντως το Π αποδεικνύεται  σώμα.
Εξ άλλου ένας αριθμός χ* του Π έχει ακριβώς μία από τις τρεις ιδιότητες  είναι θετικός, είναι αρνητικός, είναι ίσος  με μηδέν.
Και το άθροισμα και το γινόμενο δύο θετικών αριθμών του Π είναι θετικός αριθμός του Π. Επομένως 
το Π είναι διατεταγμένο σώμα και
ισχύουν όλες οι ιδιότητες των ανισοτήτων.  (Για δύο βασικές ακολουθίες {χν} και {ψν} είναι 
ν} < {ψν}, 
όταν η ακολουθία {χν - ψν} είναι αρνητικός αριθμός.)

Θέτουμε ως αξίωμα ότι 
κάθε ακολουθία κάθε κλάσης ισοδυναμίας βασικών ακολουθιών ρητών αριθμών συγκλίνει σε έναν ρητό ή μη ρητό αριθμό του Π. 
Ακολουθίες της ίδιας κλάσης συγκλίνουν στον ίδιο αριθμό.

Πρέπει να αποδείξουμε όμως ότι
 
κάθε βασική ακολουθία αριθμών του Π συγκλίνει στο Π 

Η απόδειξη θα βασιστεί τελικά στο ότι οι αριθμοί μιας ακολουθίας αριθμών του Π μπορεί να προσεγγιστούν όσο θέλουμε από ρητούς αριθμούς και στο ότι οι ρητοί και οι μη ρητοί αριθμοί του Π είναι παντού παντού πυκνοί μέσα στο Π. Ας τη δούμε.

Έστω ο αριθμός χ* του Π και χν  ένας όρος μιας ακολουθίας ρητών αριθμών από την κλάση ακολουθιών του χ*. Έχουμε
 | χν - χ*| =   {όριο | χν - χμ |  όταν το μ τείνει στο άπειρο} ≤ ε    από κάποιο ν και έπειτα 
αφού η ακολουθία {χν} είναι βασική ακολουθία (ρητών αριθμών) που τείνει στον αριθμό χ* του Π.

Επομένως κάθε περιοχή ε του όποιου αριθμού χ* του Π περιλαμβάνει άπειρους ρητούς αριθμούς του Π . 

Εστω τώρα μια βασική ακολουθία {χν*} αριθμών του Π ρητών ή μη ρητών. Κάθε όρος της ακολουθίας, έστω ο  χν*, μπορεί να προσεγγιστεί όσο θέλουμε από έναν ρητό αριθμό έστω τον χν΄.  Εκλέγουμε τον χν΄ έτσι ώστε να είναι 
 |  χν΄- χν*|  < 1/ν  
οπότε η ακολουθία (χν΄- χν*)    είναι μηδενική, και επειιδή  η  {χν΄} συγκλίνει  σε ένα στοιχείο του Π ως βασική (όπως εύκολα αποδεικνύεται) ακολουθία ρητών αριθμών, στο ίδιο στοιχείο του Π συγκλίνει και η ακολουθία {χν*}. Η όποια βασική ακολουθία στοιχείων του Π συγκλίνει στο Π

Εξ άλλου  μπορούμε να βρούμε  βασική ακολουθία ρητών αριθμών που συγκλίνει σε θετικό ακέραιο αριθμό και   οι όροι της υπερβαίνουν τους αντίστοιχους όρους οποιασδήποτε αλλά συγκεκριμένης βασικής ακολουθίας ρητών αριθμών περισσότερο από 1.  Επομένως από κάθε αριθμό του Π, υπάρχει φυσικός αριθμός  του Π μεγαλύτερος  του.  Το Π είναι αρχιμήδειο σώμα. 

Συμπέρασμα: Πληρούνται οι προϋποθέσεις της πρότασης 5β1 και επομένως, το Π όπως κατασκευάσθηκε είναι σώμα πλήρες και ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών.


δ)   Σώματα πλήρη κατά Dedekind (πλήρη σώματα), και σώματα  πλήρη κατά Cauchy.

Ας σημειωθεί ότι υπάρχουν σώματα στα οποία κάθε βασική ακολουθία στοιχείων τους συγκλίνει, τα οποία όμως δεν είναι αρχιμήδεια και ως εκ τούτου δεν είναι πλήρη. Φυσικά δεν είναι ισόμορφα με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Ονομάζονται σώματα πλήρη κατά Cauchy
Παράδειγμα αποτελεί το σύνολο των δυναμοσειρών (συγκλινουσών ή μη συγκλινουσών) της μορφής 
χρ.(α0 + α1.χ + α22 +..... + ανν + .... )
όπου ο ρ είναι ακέραιος θετικός, μηδέν ή αρνητικός και οι αν είναι πραγματικοί αριθμοί θετικοί αρνητικοί ή μηδέν. Μπορεί όλοι οι αν. από κάποιον και έπειτα να είναι ίσοι με μηδέν.
Ο α0 δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν εκτός αν είναι και όλοι οι υπόλοιποι  αν είναι ίσοι με μηδέν,
οπότε έχουμε το μηδενικό στοιχείο του συνόλου (ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης).
Αν είναι ρ=0 και  α0= 1, και οι υπόλοιποι αν είναι ίσοι με μηδέν έχουμε το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού δυναμοσειρών.
Αποδεικνύεται ότι το σύνολο αυτό με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού δυναμοσειρών, αποτελεί σώμα.
Επειδή η δυσκολία να υπάρχει η δυναμοσειρά η αντίστροφη μιας δυναμοσειράς μπορεί να φαίνεται ανυπέρβλητη, δίνω το παράδειγμα εύρεσης της αντίστροφης μιας δυναμοσειράς σε μια απλή περίπτωση.

Η δυναμοσειρά  
(1+χ) έχει  αντίστροφη τη δυναμοσειρά
(1-χ + χ2- χ3+ χ- ........ )

που μπορούμε να τη βρούμε κάνοντας τη διαίρεση  
1 διά (1+χ), 
κατά τις ανιούσες δυνάμεις του χ. 
Μπορούμε επίσης να τη βρούμε παίρνοντας το διωνυμικό ανάπτυγμα  του  (1+χ)ν  για ν = -1
Μπορούμε επίσης να το επαληθεύσουμε κάνοντας τον πολλαπλασιασμό των δύο δυναμοσειρών.

Μια δυναμοσειρά θεωρείται θετική αν είναι α0 > 0
Μια δυναμοσειρά θεωρείται αρνητική αν είναι α0 < 0.
Τη μηδενική δυναμοσειρά την έχουμε αναφέρει.
Με βάση αυτά είναι φανερό ότι το άθροισμα και το γινόμενο θετικών δυναμοσειρών είναι θετική δυναμοσειρά και ότι

για κάθε δυναμοσειρά ισχύει ακριβώς μία από τις προτάσεις
Η δυναμοσειρά είναι θετική
Η αντίθετη της δυναμοσειρά είναι θετική
Η δυναμοσειρά είναι μηδενική

Αυτά σημαίνουν ότι το σώμα των δυναμοσειρών είναι διατεταγμένο.

Στο διατεταγμένο σώμα των δυναμοσειρών αποδεικνύεται ότι οι βασικές ακολουθίες συγκλίνουν. Μιλάμε φυσικά για ακολουθίες δυναμοσειρών.

Είναι όμως εύκολο να δούμε ότι το σώμα των δυναμοσειρών δεν είναι αρχιμήδειο.
Σύμφωνα με τους ορισμούς στο σώμα των δυναμοσειρών ισχύουν οι σχέσεις
1  > 0
χ = χ.(1) > 0
1 - χ  > 0
1 - ν.χ > 0  για κάθε ν ακέραιο θετικό αριθμό
Η τελευταία  σχέση  δίνει  για τα θετικά στοιχεία χ  και 1 ότι ισχύει

ν.χ < 1 
για κάθε ν

που σημαίνει ότι το σώμα των δυναμοσειρών δεν έχει την αρχημήδεια ιδιότητα.

Το σώμα των δυναμοσειρών επομένως δεν είναι πλήρεςΕίναι "πλήρες κατά Cauchy"
Τα πλήρη σώματα έχουν και την αρχιμήδεια ιδιότητα. Ονομάζονται και "πλήρη κατά Ντέντεκιντ"

Λίγες ακόμη πληροφορίες ή παρατηρήσεις.
Ι. Έχουμε πει ότι
κάθε πλήρες σώμα είναι ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών.

Ισχύει παρόμοια πρόταση για τα 
αρχιμήδεια σώματα.
Κάθε αρχιμήδειο σώμα είναι ισόμορφο με κάποιο αρχιμήδειο σώμα που είναι υποσώμα των πραγματικών αριθμών 

ΙΙ. Ακολουθίες Cauchy στοιχείων πολυδιάστατων μετρικών χώρων χρησιμοποιούσε ο Cantor για την πλήρωση τους.  Η μέθοδος του είναι παρόμοια με τη μέθοδο που χρησιμοποιήσαμε πιο πάνω για την πλήρωση του σώματος των ρητών αριθμών,
Με τη μέθοδο του Cantor εισάγεται στην μαθηματική ανάλυση η πλήρωση  νι-διάστατων μετρικών χώρων.

ΙΙΙ. Το σώμα των δυναμοσειρών περιλαμβάνει υποσώμα του, ισόμορφο με το σώμα των πραγματικών αριθμών. Η ισομορφία ορίζεται με την εξής αντιστοίχηση.

Στον πραγματικό αριθμό α αντιστοιχούμε τη δυναμοσειρά
α + 0.χ + 0.χ2 0.χ3 ..... .

Η ισομορφία είναι προφανής.



12
Συνεχείς συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Πρόταση 6:  Αν η συνάρτηση φ(χ) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα πραγματικών αριθμών [α, β], τότε το διάστημα [α, β] μπορεί να υποδιαιρεθει σε ένα  πεπερασμένο  πλήθος διαδοχικών διαστημάτων έτσι ώστε για κάθε πραγματικό θετικό αριθμό ε (οσοδήποτε μικρό), να ισχύει
φ(χ2) - φ(χ1) | < ε
όταν τα χ1, χανήκουν σε οποιδήποτε αλλά στο ίδιο επιμέρους υποδιάστημα




Ανδρέας Κουμερτάς

Δεν υπάρχουν σχόλια: